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\begin{enumerate}[a)]
\item \marginpar[4/10]{} Gegeben sei der folgende
nichtdeterminischtische endliche Automat $A_1$ mit
$\Sigma = \left\{ a, b \right\}$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[shorten >= 1pt, node distance = 3cm, on grid,
auto]
% \node[state, initial] (q1) {$q_0$}; %
% \node[state] (q1) [right of= q1] {$q_1$}; %
% \node[state, accepting] (q2) [right right of= q1] {$q_2$}; %
% \path[->] (q1) edge [loop above] node {$a | b$} (q1) %
% edge node {$b$} (q012)
% edge node [swap] {$c$} (qe)
% (q012) edge [loop above] node {$b, c$}
% (q012) edge node {$a$} (qe);
% q0 -> q0, a|b
% q0 -> q1, b
% q1 -> q0, a
% q2 -> q2, a|b
\end{tikzpicture}
Konstruieren Sie mit dem Verfahren aus der Vorlesung (es muß erkennbar
sein!) eines zu $A_1$ einen äqivalenten deterministischen endlichen
Automaten. Zeichnen sie nur die vom Startzusatand erreichbaren
Zustände, diese aber alle. Führen Sie keine "`Vereinfachungen"' durch.
\end{center}
\item \marginpar[2/10]{} Gegeben sei der folgende
nichtdeterminischtische endliche Automat $A_2$:
\begin{tikzpicture}[shorten >= 1pt, node distance = 3cm, on grid,
auto]
% A -> B, 0
% B -> B, 0|1
% B -> C, 0
% C -> B, 1
\end{tikzpicture}
Stellen sie zu diesem ein Gleichungssystem auf:
\begin{equation*}
A = 0B | \\
B = \\
C =
\end{equation*}
\item \marginpar[4/10]{} Lößen sie das obige Gleichungssystem und geben
sie an welche Variable den regulären Ausdruck beschreibt.
\end{enumerate}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:
\begin{enumerate}[a)]
\item \marginpar[2/8]{} Geben sie die Definition des \textit{Initialen
Halteproblems} an:
\[ H_{\varepsilon} := \ldots \]
\item \marginpar[6/8]{} Beweisen Sie mittels Reduktion, daß die Sprache
\[ H_{2b} = \left\{ \left\langle M \right\rangle \# w | \text{Für eine
det. 1. Band TM $M$ existiert eine Eingabe $w \in \left\{ 0,1
\right\}^{\ast}$ für die die $M$ nicht hällt, und für alle
Eingaben $w^{\prime}$ haltet.} \right\} \]
nicht entscheidbar ist. Benutzen sie dazu das $H_{\varepsilon}$ nicht
entscheidbar ist.
\end{enumerate}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:
\begin{enumerate}[a)]
\item \marginpar[2/5]{}
% nicht-rekursive definition ...
Geben Sie die formale Definition des CYK-Algorithmus an:
\begin{enumerate}
\item[$i = j$] \[ V(i, i) := \]
\item[$i < j$] \[ V(i, j) := \]
\end{enumerate}
\item \marginpar[3/5]{} Gegeben Sei die folgende Grammatik
$G = (V, \Sigma, \mathcal{P}, \mathcal{S})$,
\begin{align*}
\mathcal{S} \rightarrow AB | DB & A \rightarrow a & B \rightarrow b\\
C \rightarrow AB | DB & B \rightarrow AC\\
\end{align*}
Vervollständigen Sie die Tabelle für die Eingabe $w = $
\texttt{aaabbb} an den Stellen $V(i, j)$. Ist das Wort $w$ in der
Sprache $L(G)$ enthalten? Wie wissen sie dies?
% {A} {A} {A} {B} {B} {B}
% / / {S,C} / /
% / {D} / /
% / {S,C} /
% ? ?
% ?
\end{enumerate}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:
......@@ -10,7 +10,7 @@ draft %
\usepackage[T1]{fontenc} %
\usepackage[utf8]{inputenc} %
\usepackage{babel} %
\usepackage[colorlinks=true]{hyperref} %
\usepackage{hyperref} %
\usepackage{lmodern} %
\usepackage{microtype} %
\usepackage[margin=2.71828182846cm]{geometry} %
......@@ -35,13 +35,30 @@ draft %
\begin{document}
\maketitle{}
% \section{Wissensfragen}
% \input{wissensfragen}
\section{Wissensfragen}
\marginpar{6/45}
\input{wissensfragen}
% ...
\section{Halteproblem}
\marginpar{8/45}
\input{halteproblem}
\end{document}
\section{Reguläre Pumpeigenschaft}
\marginpar{9/45}
\input{pumpingeigenschaft}
\section{Automaten}
\marginpar{10/45}
\input{automaten}
\section{Kontextfreie Sprache}
\marginpar{5/45}
\input{kontextfrei}
\section{$P = NP$}
\marginpar{7/45}
\input{redukution}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
......
\begin{enumerate}[a)]
\item \marginpar[2/9]{} Geben sie die \textit{regulaere
Pumpingeigenschaft} an:
\begin{quote}
\large Eine Sprache hat die reguläre Pumpingeigenschaft wenn...
\end{quote}
\item \marginpar[3/9]{} Zeigen sie direkt durch Anwendung der Definition der regulären
Pumpingeigenschaft, dass die Sprache
\[ L_{3b} = \left\{ z | z \in \left\{ a, b \right\}^{\ast}, |z| \geq
8, |z| \text{ist durch 4 teilbar}} \right\} \] die reguläre
Pumpingeigenschaft besitzt
\item \marginpar[4/9]{} Sei $\#_a(w)$ die Funktion die die Häufigkeit des Zeichens $a$ im
Wort $w$ berechnet.
Zeigen sie direkt durch Anwendung der Definition der regulären
Pumpingeigenschaft, dass die Sprache \[ L_{3c} = \left\{ z | z \in
\left\{ a, b \right\}^{\ast}, 4 \cdot \#_a(z) = \#_b(z)
\right\} \] die reguläre Pumpingeigenschaft \textbf{nicht} besitzt.
\end{enumerate}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:
\begin{enumerate}[a)]
\item Geben sie die Definition für $\textsc{Clique}$ an:
\[ \textsc{Clique} := \{ \]
\item Gegeben ist die Sprache $\textsc{AlleUngleich}$:
\[ \textsc{AlleUngleich} = \left\{ \operatorname{bin}(a_1) \# \ldots
\# \operatorname{bin}(a_n) \;|\; n \geq 2, \forall i, j \in \left\{ 1,
\ldots n \right\}, i \neq j, a_i \neq a_j \right\} \]
Zeigen Sie das $\textsc{AlleUngleich} \leq_p \textsc{Clique}$ gilt.
\item Angenommen $P = NP$, zeigen sie dass $\textsc{AlleUngleich}$
NP-Vollständig ist.
Verwenden Sie hierzu die Definition der NP-Vollständigkeit.
\end{enumerate}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:
Zeigen Sie oder wiederlegen Sie die folgenden AUssagen (die jeweiligen
Beweise sind außerst kurz):
\begin{enumerate}[a)]
\item Sei $\alpha$ eine Reguläre Ausdruck. Enthält diese ein $\ast$
(dieses heißt $(\ldots)^{\ast}$) enthält die dadurch beschriebene
Sprache unendliche viele Wörter.
\item Wenn $N \neq NP$ gilt, dann gibt es mindestens ein Wort in
$NP$welches nicht entscheidbar ist.
\item Die Sprache
\[ L_{1b} = \left\{ \left\langle M \right\rangle | \text{M ist eine 1.
Band TM, mit höchstens}} k \text{zuständen}} \right\} \]
ist entscheidbar.
\end{enumerate}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:
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