Commit cc953879 authored by Fabian Bläse's avatar Fabian Bläse

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......@@ -19,12 +19,12 @@
\end{center}
Konstruieren Sie mit dem Verfahren aus der Vorlesung (es muß erkennbar
sein!) eines zu $A_1$ einen äqivalenten deterministischen endlichen
sein!) einen zu $A_1$ äqivalenten deterministischen endlichen
Automaten. Zeichnen sie nur die vom Startzusatand erreichbaren
Zustände, diese aber alle. Führen Sie keine "`Vereinfachungen"' durch.
\item Gegeben sei der folgende nichtdeterminischtische endliche Automat
$A_2$ über $\Sigma = \left\{ 0, 1 \right\}$:
$A_2$ über $\Sigma = \left\{ a, b \right\}$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[->, shorten >= 1pt, node distance = 2cm, on grid]
\node[state, initial] (a) {$A$}; %
......@@ -32,17 +32,17 @@
\node[state, accepting] (c) [right of=b] {$C$}; %
\path
(a) edge [above] node {0} (b)
(b) edge [loop above] node {$0 \;|\; 1$} (b)
(b) edge [above,bend left] node {0} (c)
(c) edge [below,bend left] node {1} (b);
(a) edge [above] node {a} (b)
(b) edge [loop above] node {$a \;|\; b$} (b)
(b) edge [above,bend left] node {a} (c)
(c) edge [below,bend left] node {b} (b);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Stellen sie zu diesem ein Gleichungssystem auf:
Stellen Sie zu diesem ein Gleichungssystem auf:
\begin{align*}
\Large
A & = 0\,B \\
A & = a\,B \\
B & = \\
C & =
\end{align*}
......
\section{Halteproblem \hfill {\small 8 Punkte}}
\begin{enumerate}[a)]
\item Geben sie die Definition des \textit{Initialen
Halteproblems} an:
\item Geben sie die Definition des Halteproblems an:
\begin{align*}
\mathrm{H}_{\varepsilon} := \{
\mathrm{H} := \{
\end{align*}
\item Beweisen Sie mittels Reduktion, daß die
Sprache
\item Beweisen Sie mittels Reduktion, daß die Sprache
\begin{align*}
\mathrm{H}_{2b} = \{ \left\langle M \right\rangle\# w \;|\; &
\text{Für eine det. 1. Band TM $M$ existiert eine Eingabe
$w \in \{ 0,1 \}^{\ast}$}\\
& \text{für die die $M$ nicht hällt, und für alle Eingaben $w^{\prime}
\neq w$ haltet.} \}
\mathrm{L}_{2b} & = \{ \left\langle M \right\rangle \;|\; \text{M ist deterministische 1-Band-TM, für die} \\
& \text{(i) mindestens eine Eingabe y mit |y| > 7 und |y| prim existiert, so daß M hält} \\
& \text{(ii) keine Eingabe y mit |y| gerade existiert, so daß M hält} \} \\
\end{align*}
nicht entscheidbar ist. Benutzen sie dazu das $\mathrm{H}_{\varepsilon}$ nicht
entscheidbar ist.
nicht entscheidbar ist. Benutzen sie dazu, daß $\mathrm{H}$ nicht
entscheidbar ist. Bedenken Sie, daß \enquote{$\Leftrightarrow$} aus \enquote{$\Leftarrow$} und \enquote{$\Rightarrow$} besteht.
\end{enumerate}
%%% Local Variables:
......
......@@ -10,16 +10,18 @@
\item Gegeben Sei die folgende Grammatik
$G = (V, \Sigma, \mathcal{P}, \mathcal{S})$,
\begin{align*}
\mathcal{S} &\rightarrow AB | DB \\
A &\rightarrow a \\
B &\rightarrow b\\
C &\rightarrow AB | DB \\
D &\rightarrow AC
\mathcal{S} &\rightarrow AB \\
A &\rightarrow CD \;|\; CF \\
B &\rightarrow EB \;|\; c \\
C &\rightarrow a \\
D &\rightarrow b \\
E &\rightarrow c \\
F &\rightarrow AD \\
\end{align*}
Vervollständigen Sie die Tabelle für die Eingabe $w = $
\texttt{aaabbb} an den Stellen $V(i, j)$. Ist das Wort $w$ in der
Sprache $L(G)$ enthalten? Wie wissen sie dies?
Zeichnen Sie den Dyntaxbaum für das Wort $aaabbbcc$ und
markieren sie alle Felder in der Tabelle,
welche Sie benutzt haben mit $\bullet$.
\vspace{1cm}
......@@ -31,12 +33,14 @@
column sep=-\pgflinewidth,
nodes={draw,minimum width=1.5cm,minimum height=1.07868932583cm}
]{
\{A\}&\{A\}&\{A\}&\{B\}&\{B\}&\{B\}\\
\{\}&\{\}&\{S,C\}&\{\}&\{\}\\
\{\}&\{D\}&\{\}&\{\}\\
\{\}&\{S,C\}&\{\}\\
$V(1, 5)$&$V(2, 6)$\\
$V(1, 6)$\\
\{C\}&\{C\}&\{C\}&\{D\}&\{D\}&\{D\}&\{B, E\}&\{B, E\}\\
\{\}&\{\}&\{A\}&\{\}&\{\}&\{\}&\{B\}\\
\{\}&\{\}&\{F\}&\{\}&\{\}&\{\}\\
\{\}&\{A\}&\{\}&\{\}&\{\}\\
\{\}&\{F\}&\{\}&\{\}\\
\{A\}&\{\}&\{\}\\
\{S\}&\{\}\\
\{S\}$\bullet$\\
};
\begin{scope}[font=\ttfamily{}]
......@@ -46,6 +50,8 @@
\node[above=4pt of M-1-4] {b};
\node[above=4pt of M-1-5] {b};
\node[above=4pt of M-1-6] {b};
\node[above=4pt of M-1-7] {c};
\node[above=4pt of M-1-8] {c};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
......
......@@ -10,6 +10,7 @@
\usepackage[margin=2.71828182846cm]{geometry} %
\usepackage[shortlabels]{enumitem} %
\usepackage{amsmath} %
\usepackage{csquotes} %
\usepackage{tikz} %
\usetikzlibrary{arrows,automata,positioning,matrix} %
......@@ -17,9 +18,9 @@
\subject{Klausur Braindump\thanks{\textit{Wie Immer:} Keine Garantie auf
Richtigkeit. Angaben werden zum meisten Teil vereinfacht
wiedergegeben. Fehler und Verbesserungen via Gitlab melden:
\url{https://gitlab.cs.fau.de/oj14ozun/bfs-ws18}.}} %
\title{Berechenbarkeit und Formelle Sprachen} %
\date{\textsc{Wintersemester 18/19}} %
\url{https://gitlab.cs.fau.de/jo06coga/bfsdump-ss19}.}} %
\title{Berechenbarkeit und formale Sprachen} %
\date{\textsc{Sommersemester 2019}} %
\author{Diverse Teilnehmer}
\begin{document}
......
......@@ -7,20 +7,16 @@
\Large Eine Sprache hat die reguläre Pumpingeigenschaft wenn...
\vspace{3.14159265359cm}
\end{quote}
\item Zeigen sie direkt durch Anwendung der Definition der regulären
Pumpingeigenschaft, dass die Sprache
\[ L_{3b} = \left\{ \, z \;|\; z \in \left\{ a, b \right\}^{\ast}, |z| \geq
8, |z| \text{ist durch 4 teilbar} \, \right\} \] die reguläre
Pumpingeigenschaft besitzt
\item Sei $\#_a(w)$ die Funktion die die Häufigkeit des Zeichens $a$ im
Wort $w$ berechnet.
\item Sei $z^{bc}$ das \textit{binary complement} zu $z$. \\\\
Zeigen sie \textbf{durch direkte Anwendung der Definition}, daß die Sprache
\[ L_{3b} = \left\{ \, a \;|\; a \in \left\{ 0, 1 \right\}^{\ast}, \; |a| \geq
4, \; a = a_1a_2...a_{k-1}a_k, \; a_1a_2 \neq a_{k-1}a_k \right\} \] die reguläre Pumpeigenschaft hat. \\\\
\textit{Kleiner Hinweis}: Vergessen Sie bei der Wahl von $n_L$ nicht den Pumpfall $i = 0$.
Zeigen sie direkt durch Anwendung der Definition der regulären
Pumpingeigenschaft, dass die Sprache \[ L_{3c} = \left\{ \, z \;|\; z \in
\left\{ a, b \right\}^{\ast}, 4 \cdot \#_a(z) = \#_b(z)
\right\} \, \] die reguläre Pumpingeigenschaft \textbf{nicht} besitzt.
\item Zeigen sie \textbf{durch direkte Anwendung der Definition}, daß die Sprache
\[ L_{3c} = \left\{ \, zz^{bc} \;|\; z \in \left\{ 0, 1 \right\}^{\ast} \right\} \]
die reguläre Pumpeigenschaft \textbf{nicht} hat.
\end{enumerate}
%%% Local Variables:
......
\section{$\mathrm{P} \stackrel{?}{=} \mathrm{NP}$ \hfill {\small 7 Punkte}}
\section{Reduktion \hfill {\small 7 Punkte}}
\begin{enumerate}[a)]
\item Geben sie die Definition für $\textsc{Clique}$ an:
\[ \textsc{Clique} := \{ \]
\item Gegeben ist die Sprache $\textsc{AlleUngleich}$:
\[ \textsc{AlleUngleich} = \left\{ \operatorname{bin}(a_1) \# \ldots
\# \operatorname{bin}(a_n) \;|\; n \geq 2, \forall i, j \in \left\{ 1,
\ldots n \right\}, i \neq j, a_i \neq a_j \right\} \]
\item Gegeben ist die Sprache
\[ \mathrm{L}_{3b} = \]
Zeigen Sie das $\textsc{AlleUngleich} \leq_p \textsc{Clique}$ gilt.
Zeigen Sie das $\mathrm{L}_{3b} \leq_p \textsc{Clique}$ gilt.
\item Angenommen $\mathrm{P} = \mathrm{NP}$, zeigen sie dass $\textsc{AlleUngleich}$
$\mathrm{NP}$-Vollständig ist.
\item Angenommen $\mathrm{P} = \mathrm{NP}$. Zeigen sie, daß $\textsc{Clique} \leq_p \mathrm{L}_{3b}$
Verwenden Sie hierzu die Definition der $\mathrm{NP}$-Vollständigkeit.
Begründen Sie unter Verwendung der Definition von NP-Vollständigkeit, daß $\mathrm{L}_{3b}$ dann $\mathrm{NP}$-vollständig ist. Verwenden Sie hierzu die Definition der $\mathrm{NP}$-Vollständigkeit.
\end{enumerate}
%%% Local Variables:
......
\section{Wissensfragen \hfill {\small 6 Punkte}}
Zeigen Sie oder wiederlegen Sie die Folgenden Aussagen (die jeweiligen
Beweise sind äußerst kurz):
Zeigen oder wiederlegen Sie die folgenden Aussagen (die jeweiligen Beweise sind äußerst kurz):
\begin{enumerate}[a)]
\item Sei $\alpha$ eine Reguläre Ausdruck. Enthält diese ein $\ast$
(im Sinne von $(\ldots)^{\ast}$) enthält die dadurch beschriebene
Sprache unendliche viele Wörter.
\item Wenn $\mathrm{P} \neq \mathrm{NP}$ gilt, dann gibt es mindestens ein Wort in
$\mathrm{NP}$ welches nicht entscheidbar ist.
\item Die Sprache
\[ L_{1b} = \left\{ \left\langle M \right\rangle \;|\; \text{M ist eine
det. 1. Band TM, mit höchstens $k$ Zuständen} \right\} \] ist
entscheidbar.
\item Es gibt reguläre Sprachen, die die kontextfreie Pumpeigenschaft nicht haben.
\item Die Sprache \begin{align*}
L = \{ (G, U, k) \;|\; & G = (V, E), G \text{ ist ungerichteter Graph}, \\
& U \subseteq G, U \text{ ist vollständiger Teilgraph von G mit } |U| = k\}
\end{align*} ist in Polynomzeit entscheidbar.
\item $\bar H \leq H$
\end{enumerate}
%%% Local Variables:
......
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