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Ausbesserungen und Umformattierungen

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\section{Automaten \hfill {\small 10 Punkte}}
\begin{enumerate}[a)]
\item \marginpar[4/10]{} Gegeben sei der folgende
nichtdeterminischtische endliche Automat $A_1$ mit
$\Sigma = \left\{ a, b \right\}$:
\item Gegeben sei der folgende nichtdeterminischtische endliche Automat
$A_1$ mit $\Sigma = \left\{ a, b, c \right\}$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[shorten >= 1pt, node distance = 3cm, on grid,
auto]
% \node[state, initial] (q1) {$q_0$}; %
% \node[state] (q1) [right of= q1] {$q_1$}; %
% \node[state, accepting] (q2) [right right of= q1] {$q_2$}; %
% \path[->] (q1) edge [loop above] node {$a | b$} (q1) %
% edge node {$b$} (q012)
% edge node [swap] {$c$} (qe)
% (q012) edge [loop above] node {$b, c$}
% (q012) edge node {$a$} (qe);
\begin{tikzpicture}[->, shorten >= 1pt, node distance = 2cm, on grid]
\node[state, initial] (q0) {$q_0$}; %
\node[state] (q1) [right of=q0] {$q_1$}; %
\node[state, accepting] (q2) [right of=q1] {$q_2$}; %
% q0 -> q0, a|b
% q0 -> q1, b
% q1 -> q0, a
% q2 -> q2, a|b
\end{tikzpicture}
\path
(q0) edge [loop above] node {$a \;|\; b$} (q0)
(q0) edge [above] node {$b$} (q1)
(q1) edge [above] node {$a$} (q2)
(q2) edge [loop above] node {$a \;|\; b \;|\; c$} (q2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Konstruieren Sie mit dem Verfahren aus der Vorlesung (es muß erkennbar
sein!) eines zu $A_1$ einen äqivalenten deterministischen endlichen
Automaten. Zeichnen sie nur die vom Startzusatand erreichbaren
Zustände, diese aber alle. Führen Sie keine "`Vereinfachungen"' durch.
\end{center}
Zustände, diese aber alle. Führen Sie keine "`Vereinfachungen"' durch.
\item Gegeben sei der folgende nichtdeterminischtische endliche Automat
$A_2$ über $\Sigma = \left\{ 0, 1 \right\}$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[->, shorten >= 1pt, node distance = 2cm, on grid]
\node[state, initial] (a) {$A$}; %
\node[state] (b) [right of=a] {$B$}; %
\node[state, accepting] (c) [right of=b] {$C$}; %
\item \marginpar[2/10]{} Gegeben sei der folgende
nichtdeterminischtische endliche Automat $A_2$:
\begin{tikzpicture}[shorten >= 1pt, node distance = 3cm, on grid,
auto]
% A -> B, 0
% B -> B, 0|1
% B -> C, 0
% C -> B, 1
\path
(a) edge [above] node {0} (b)
(b) edge [loop above] node {0 \;|\; 1} (b)
(b) edge [above,bend left] node {0} (c)
(c) edge [above,bend left] node {1} (b);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Stellen sie zu diesem ein Gleichungssystem auf:
\begin{equation*}
A = 0B | \\
B = \\
C =
\end{equation*}
\begin{align*}
A & = 0\,B \\
B & = \\
C & =
\end{align*}
\item \marginpar[4/10]{} Lößen sie das obige Gleichungssystem und geben
sie an welche Variable den regulären Ausdruck beschreibt.
\item Lößen sie das obige Gleichungssystem und geben sie an welche
Variable den regulären Ausdruck beschreibt.
\end{enumerate}
%%% Local Variables:
......
\section{Halteproblem \hfill {\small 8 Punkte}}
\begin{enumerate}[a)]
\item \marginpar[2/8]{} Geben sie die Definition des \textit{Initialen
\item Geben sie die Definition des \textit{Initialen
Halteproblems} an:
\[ H_{\varepsilon} := \ldots \]
\item \marginpar[6/8]{} Beweisen Sie mittels Reduktion, daß die Sprache
\[ H_{2b} = \left\{ \left\langle M \right\rangle \# w | \text{Für eine
det. 1. Band TM $M$ existiert eine Eingabe $w \in \left\{ 0,1
\right\}^{\ast}$ für die die $M$ nicht hällt, und für alle
Eingaben $w^{\prime}$ haltet.} \right\} \]
nicht entscheidbar ist. Benutzen sie dazu das $H_{\varepsilon}$ nicht
\begin{align*}
\mathrm{H}_{\varepsilon} :=
\end{align*}
\item Beweisen Sie mittels Reduktion, daß die
Sprache
\begin{align*}
\mathrm{H}_{2b} = \{ \left\langle M \right\rangle\# w \;|\; &
\text{Für eine det. 1. Band TM $M$ existiert eine Eingabe
$w \in \{ 0,1 \}^{\ast}$}\\
& \text{für die die $M$ nicht hällt, und für alle Eingaben $w^{\prime}
\neq w$ haltet.} \}
\end{align*}
nicht entscheidbar ist. Benutzen sie dazu das $\mathrm{H}_{\varepsilon}$ nicht
entscheidbar ist.
\end{enumerate}
......
\section{Kontextfreie Sprache \hfill {\small 5 Punkte}}
\begin{enumerate}[a)]
\item \marginpar[2/5]{}
% nicht-rekursive definition ...
Geben Sie die formale Definition des CYK-Algorithmus an:
\item Geben Sie die rekursive Definition des CYK-Algorithmus formal an:
\begin{enumerate}
\item[$i = j$] \[ V(i, i) := \]
\item[$i < j$] \[ V(i, j) := \]
\end{enumerate}
\item \marginpar[3/5]{} Gegeben Sei die folgende Grammatik
\item Gegeben Sei die folgende Grammatik
$G = (V, \Sigma, \mathcal{P}, \mathcal{S})$,
\begin{align*}
\mathcal{S} \rightarrow AB | DB & A \rightarrow a & B \rightarrow b\\
C \rightarrow AB | DB & B \rightarrow AC\\
\mathcal{S} &\rightarrow AB | DB \\
A &\rightarrow a \\
B &\rightarrow b\\
C &\rightarrow AB | DB \\
B &\rightarrow AC
\end{align*}
Vervollständigen Sie die Tabelle für die Eingabe $w = $
\texttt{aaabbb} an den Stellen $V(i, j)$. Ist das Wort $w$ in der
Sprache $L(G)$ enthalten? Wie wissen sie dies?
% {A} {A} {A} {B} {B} {B}
% / / {S,C} / /
% / {D} / /
% / {S,C} /
% ? ?
% ?
\vspace{1cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\matrix(M)[
matrix of nodes,
row sep=-\pgflinewidth,
column sep=-\pgflinewidth,
nodes={draw,minimum width=1.5cm,minimum height=1.5cm}
]{
\{A\}&\{A\}&\{A\}&\{B\}&\{B\}&\{B\}\\
\{\}&\{\}&\{S,C\}&\{\}&\{\}\\
\{\}&\{D\}&\{\}&\{\}\\
\{\}&\{S,C\}&\{\}\\
$V(1, 5)$&$V(2, 6)$\\
$V(1, 6)$\\
};
\begin{scope}[font=\ttfamily{}]
\node[above=4pt of M-1-1] {a};
\node[above=4pt of M-1-2] {a};
\node[above=4pt of M-1-3] {a};
\node[above=4pt of M-1-4] {b};
\node[above=4pt of M-1-5] {b};
\node[above=4pt of M-1-6] {b};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
%%% Local Variables:
......
\RequirePackage[l2tabu, orthodox]{nag}
\documentclass[ %
a4paper, %
10pt, %
ngerman, %
titlepage=false, %
draft %
]{scrreprt} %
\RequirePackage[l2tabu, orthodox]{nag} %
\documentclass[a4paper,frontpage,fleqn]{scrartcl}
\usepackage[T1]{fontenc} %
\usepackage[utf8]{inputenc} %
\usepackage{babel} %
\usepackage[ngerman]{babel} %
\usepackage{hyperref} %
\usepackage{lmodern} %
\usepackage{microtype} %
\usepackage[margin=2.71828182846cm]{geometry} %
\usepackage{amsfonts} %
\usepackage{amssymb} %
\usepackage{amsmath} %
\usepackage[shortlabels]{enumitem} %
\usepackage{amsmath} %
\usepackage{tikz} %
\usetikzlibrary{arrows,automata,positioning} %
\usetikzlibrary{arrows,automata,positioning,matrix} %
\subject{Klausur Braindump} %
\title{Berechenbarkeit und Formelle Sprachen} %
\date{\textsc{Wintersemester 18/19}} %
\author{
Diverse Teilnehmer\\
{\small
Fehler und Verbesserungen via
\href{https://gitlab.cs.fau.de/oj14ozun/bfs-ws18}{Gitlab} melden.
}
}
\author{Diverse Teilnehmer}
\begin{document}
\maketitle{}
\section{Wissensfragen}
\marginpar{6/45}
\input{wissensfragen}
\section{Halteproblem}
\marginpar{8/45}
\input{halteproblem}
\section{Reguläre Pumpeigenschaft}
\marginpar{9/45}
\input{pumpingeigenschaft}
\section{Automaten}
\marginpar{10/45}
\input{automaten}
\section{Kontextfreie Sprache}
\marginpar{5/45}
\input{kontextfrei}
\section{$P = NP$}
\marginpar{7/45}
\input{redukution}
\vfill{}
\begin{abstract}
\ttfamily{}
\noindent Keine Garantie auf Richtigkeit. Angaben werden zum meisten Teil
vereinfacht wiedergegeben.
\noindent Fehler und Verbesserungen via
\href{https://gitlab.cs.fau.de/oj14ozun/bfs-ws18}{Gitlab} melden.
\end{abstract}
\include{wissensfragen}
\include{halteproblem}
\include{pumpingeigenschaft}
\include{automaten}
\include{kontextfrei}
\include{redukution}
\end{document}
%%% Local Variables:
......
\section{Reguläre Pumpeigenschaft\hfill {\small 9 Punkte}}
\begin{enumerate}[a)]
\item \marginpar[2/9]{} Geben sie die \textit{regulaere
\item Geben sie die \textit{regulaere
Pumpingeigenschaft} an:
\begin{quote}
\large Eine Sprache hat die reguläre Pumpingeigenschaft wenn...
\end{quote}
\item \marginpar[3/9]{} Zeigen sie direkt durch Anwendung der Definition der regulären
\item Zeigen sie direkt durch Anwendung der Definition der regulären
Pumpingeigenschaft, dass die Sprache
\[ L_{3b} = \left\{ z | z \in \left\{ a, b \right\}^{\ast}, |z| \geq
8, |z| \text{ist durch 4 teilbar}} \right\} \] die reguläre
\[ L_{3b} = \left\{ z \;|\; z \in \left\{ a, b \right\}^{\ast}, |z| \geq
8, |z| \text{ist durch 4 teilbar} \right\} \] die reguläre
Pumpingeigenschaft besitzt
\item \marginpar[4/9]{} Sei $\#_a(w)$ die Funktion die die Häufigkeit des Zeichens $a$ im
\item Sei $\#_a(w)$ die Funktion die die Häufigkeit des Zeichens $a$ im
Wort $w$ berechnet.
Zeigen sie direkt durch Anwendung der Definition der regulären
Pumpingeigenschaft, dass die Sprache \[ L_{3c} = \left\{ z | z \in
Pumpingeigenschaft, dass die Sprache \[ L_{3c} = \left\{ z \;|\; z \in
\left\{ a, b \right\}^{\ast}, 4 \cdot \#_a(z) = \#_b(z)
\right\} \] die reguläre Pumpingeigenschaft \textbf{nicht} besitzt.
\end{enumerate}
......
\section{$\mathrm{P} \stackrel{?}{=} \mathrm{NP}$ \hfill {\small 7 Punkte}}
\begin{enumerate}[a)]
\item Geben sie die Definition für $\textsc{Clique}$ an:
\[ \textsc{Clique} := \{ \]
......@@ -9,10 +11,10 @@
Zeigen Sie das $\textsc{AlleUngleich} \leq_p \textsc{Clique}$ gilt.
\item Angenommen $P = NP$, zeigen sie dass $\textsc{AlleUngleich}$
NP-Vollständig ist.
\item Angenommen $\mathrm{P} = \mathrm{NP}$, zeigen sie dass $\textsc{AlleUngleich}$
$\mathrm{NP}$-Vollständig ist.
Verwenden Sie hierzu die Definition der NP-Vollständigkeit.
Verwenden Sie hierzu die Definition der $\mathrm{NP}$-Vollständigkeit.
\end{enumerate}
%%% Local Variables:
......
Zeigen Sie oder wiederlegen Sie die folgenden AUssagen (die jeweiligen
Beweise sind außerst kurz):
\section{Wissensfragen \hfill {\small 6 Punkte}}
Zeigen Sie oder wiederlegen Sie die Folgenden Aussagen (die jeweiligen
Beweise sind äußerst kurz):
\begin{enumerate}[a)]
\item Sei $\alpha$ eine Reguläre Ausdruck. Enthält diese ein $\ast$
(dieses heißt $(\ldots)^{\ast}$) enthält die dadurch beschriebene
Sprache unendliche viele Wörter.
\item Wenn $N \neq NP$ gilt, dann gibt es mindestens ein Wort in
$NP$welches nicht entscheidbar ist.
\item Wenn $\mathrm{P} \neq \mathrm{NP}$ gilt, dann gibt es mindestens ein Wort in
$\mathrm{NP}$ welches nicht entscheidbar ist.
\item Die Sprache
\[ L_{1b} = \left\{ \left\langle M \right\rangle | \text{M ist eine 1.
Band TM, mit höchstens}} k \text{zuständen}} \right\} \]
ist entscheidbar.
\[ L_{1b} = \left\{ \left\langle M \right\rangle \;|\; \text{M ist eine
det. 1. Band TM, mit höchstens $k$ Zuständen} \right\} \] ist
entscheidbar.
\end{enumerate}
%%% Local Variables:
......
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