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Ausbesserungen und Umformattierungen

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\section{Automaten \hfill {\small 10 Punkte}}
\begin{enumerate}[a)]
\item \marginpar[4/10]{} Gegeben sei der folgende
nichtdeterminischtische endliche Automat $A_1$ mit
$\Sigma = \left\{ a, b \right\}$:
\item Gegeben sei der folgende nichtdeterminischtische endliche Automat
$A_1$ mit $\Sigma = \left\{ a, b, c \right\}$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[shorten >= 1pt, node distance = 3cm, on grid,
auto]
% \node[state, initial] (q1) {$q_0$}; %
% \node[state] (q1) [right of= q1] {$q_1$}; %
% \node[state, accepting] (q2) [right right of= q1] {$q_2$}; %
% \path[->] (q1) edge [loop above] node {$a | b$} (q1) %
% edge node {$b$} (q012)
% edge node [swap] {$c$} (qe)
% (q012) edge [loop above] node {$b, c$}
% (q012) edge node {$a$} (qe);
% q0 -> q0, a|b
% q0 -> q1, b
% q1 -> q0, a
% q2 -> q2, a|b
\begin{tikzpicture}[->, shorten >= 1pt, node distance = 2cm, on grid]
\node[state, initial] (q0) {$q_0$}; %
\node[state] (q1) [right of=q0] {$q_1$}; %
\node[state, accepting] (q2) [right of=q1] {$q_2$}; %
\path
(q0) edge [loop above] node {$a \;|\; b$} (q0)
(q0) edge [above] node {$b$} (q1)
(q1) edge [above] node {$a$} (q2)
(q2) edge [loop above] node {$a \;|\; b \;|\; c$} (q2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Konstruieren Sie mit dem Verfahren aus der Vorlesung (es muß erkennbar
sein!) eines zu $A_1$ einen äqivalenten deterministischen endlichen
Automaten. Zeichnen sie nur die vom Startzusatand erreichbaren
Zustände, diese aber alle. Führen Sie keine "`Vereinfachungen"' durch.
\end{center}
\item \marginpar[2/10]{} Gegeben sei der folgende
nichtdeterminischtische endliche Automat $A_2$:
\begin{tikzpicture}[shorten >= 1pt, node distance = 3cm, on grid,
auto]
% A -> B, 0
% B -> B, 0|1
% B -> C, 0
% C -> B, 1
\item Gegeben sei der folgende nichtdeterminischtische endliche Automat
$A_2$ über $\Sigma = \left\{ 0, 1 \right\}$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[->, shorten >= 1pt, node distance = 2cm, on grid]
\node[state, initial] (a) {$A$}; %
\node[state] (b) [right of=a] {$B$}; %
\node[state, accepting] (c) [right of=b] {$C$}; %
\path
(a) edge [above] node {0} (b)
(b) edge [loop above] node {0 \;|\; 1} (b)
(b) edge [above,bend left] node {0} (c)
(c) edge [above,bend left] node {1} (b);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Stellen sie zu diesem ein Gleichungssystem auf:
\begin{equation*}
A = 0B | \\
B = \\
C =
\end{equation*}
\item \marginpar[4/10]{} Lößen sie das obige Gleichungssystem und geben
sie an welche Variable den regulären Ausdruck beschreibt.
\begin{align*}
A & = 0\,B \\
B & = \\
C & =
\end{align*}
\item Lößen sie das obige Gleichungssystem und geben sie an welche
Variable den regulären Ausdruck beschreibt.
\end{enumerate}
%%% Local Variables:
......
\section{Halteproblem \hfill {\small 8 Punkte}}
\begin{enumerate}[a)]
\item \marginpar[2/8]{} Geben sie die Definition des \textit{Initialen
\item Geben sie die Definition des \textit{Initialen
Halteproblems} an:
\[ H_{\varepsilon} := \ldots \]
\item \marginpar[6/8]{} Beweisen Sie mittels Reduktion, daß die Sprache
\[ H_{2b} = \left\{ \left\langle M \right\rangle \# w | \text{Für eine
det. 1. Band TM $M$ existiert eine Eingabe $w \in \left\{ 0,1
\right\}^{\ast}$ für die die $M$ nicht hällt, und für alle
Eingaben $w^{\prime}$ haltet.} \right\} \]
nicht entscheidbar ist. Benutzen sie dazu das $H_{\varepsilon}$ nicht
\begin{align*}
\mathrm{H}_{\varepsilon} :=
\end{align*}
\item Beweisen Sie mittels Reduktion, daß die
Sprache
\begin{align*}
\mathrm{H}_{2b} = \{ \left\langle M \right\rangle\# w \;|\; &
\text{Für eine det. 1. Band TM $M$ existiert eine Eingabe
$w \in \{ 0,1 \}^{\ast}$}\\
& \text{für die die $M$ nicht hällt, und für alle Eingaben $w^{\prime}
\neq w$ haltet.} \}
\end{align*}
nicht entscheidbar ist. Benutzen sie dazu das $\mathrm{H}_{\varepsilon}$ nicht
entscheidbar ist.
\end{enumerate}
......
\begin{enumerate}[a)]
\item \marginpar[2/5]{}
% nicht-rekursive definition ...
\section{Kontextfreie Sprache \hfill {\small 5 Punkte}}
Geben Sie die formale Definition des CYK-Algorithmus an:
\begin{enumerate}[a)]
\item Geben Sie die rekursive Definition des CYK-Algorithmus formal an:
\begin{enumerate}
\item[$i = j$] \[ V(i, i) := \]
\item[$i < j$] \[ V(i, j) := \]
\end{enumerate}
\item \marginpar[3/5]{} Gegeben Sei die folgende Grammatik
\item Gegeben Sei die folgende Grammatik
$G = (V, \Sigma, \mathcal{P}, \mathcal{S})$,
\begin{align*}
\mathcal{S} \rightarrow AB | DB & A \rightarrow a & B \rightarrow b\\
C \rightarrow AB | DB & B \rightarrow AC\\
\mathcal{S} &\rightarrow AB | DB \\
A &\rightarrow a \\
B &\rightarrow b\\
C &\rightarrow AB | DB \\
B &\rightarrow AC
\end{align*}
Vervollständigen Sie die Tabelle für die Eingabe $w = $
\texttt{aaabbb} an den Stellen $V(i, j)$. Ist das Wort $w$ in der
Sprache $L(G)$ enthalten? Wie wissen sie dies?
% {A} {A} {A} {B} {B} {B}
% / / {S,C} / /
% / {D} / /
% / {S,C} /
% ? ?
% ?
\vspace{1cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\matrix(M)[
matrix of nodes,
row sep=-\pgflinewidth,
column sep=-\pgflinewidth,
nodes={draw,minimum width=1.5cm,minimum height=1.5cm}
]{
\{A\}&\{A\}&\{A\}&\{B\}&\{B\}&\{B\}\\
\{\}&\{\}&\{S,C\}&\{\}&\{\}\\
\{\}&\{D\}&\{\}&\{\}\\
\{\}&\{S,C\}&\{\}\\
$V(1, 5)$&$V(2, 6)$\\
$V(1, 6)$\\
};
\begin{scope}[font=\ttfamily{}]
\node[above=4pt of M-1-1] {a};
\node[above=4pt of M-1-2] {a};
\node[above=4pt of M-1-3] {a};
\node[above=4pt of M-1-4] {b};
\node[above=4pt of M-1-5] {b};
\node[above=4pt of M-1-6] {b};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
%%% Local Variables:
......
\RequirePackage[l2tabu, orthodox]{nag}
\documentclass[ %
a4paper, %
10pt, %
ngerman, %
titlepage=false, %
draft %
]{scrreprt} %
\RequirePackage[l2tabu, orthodox]{nag} %
\documentclass[a4paper,frontpage,fleqn]{scrartcl}
\usepackage[T1]{fontenc} %
\usepackage[utf8]{inputenc} %
\usepackage{babel} %
\usepackage[ngerman]{babel} %
\usepackage{hyperref} %
\usepackage{lmodern} %
\usepackage{microtype} %
\usepackage[margin=2.71828182846cm]{geometry} %
\usepackage{amsfonts} %
\usepackage{amssymb} %
\usepackage{amsmath} %
\usepackage[shortlabels]{enumitem} %
\usepackage{amsmath} %
\usepackage{tikz} %
\usetikzlibrary{arrows,automata,positioning} %
\usetikzlibrary{arrows,automata,positioning,matrix} %
\subject{Klausur Braindump} %
\title{Berechenbarkeit und Formelle Sprachen} %
\date{\textsc{Wintersemester 18/19}} %
\author{
Diverse Teilnehmer\\
{\small
Fehler und Verbesserungen via
\href{https://gitlab.cs.fau.de/oj14ozun/bfs-ws18}{Gitlab} melden.
}
}
\author{Diverse Teilnehmer}
\begin{document}
\maketitle{}
\vfill{}
\section{Wissensfragen}
\marginpar{6/45}
\input{wissensfragen}
\section{Halteproblem}
\marginpar{8/45}
\input{halteproblem}
\begin{abstract}
\ttfamily{}
\noindent Keine Garantie auf Richtigkeit. Angaben werden zum meisten Teil
vereinfacht wiedergegeben.
\section{Reguläre Pumpeigenschaft}
\marginpar{9/45}
\input{pumpingeigenschaft}
\section{Automaten}
\marginpar{10/45}
\input{automaten}
\section{Kontextfreie Sprache}
\marginpar{5/45}
\input{kontextfrei}
\section{$P = NP$}
\marginpar{7/45}
\input{redukution}
\noindent Fehler und Verbesserungen via
\href{https://gitlab.cs.fau.de/oj14ozun/bfs-ws18}{Gitlab} melden.
\end{abstract}
\include{wissensfragen}
\include{halteproblem}
\include{pumpingeigenschaft}
\include{automaten}
\include{kontextfrei}
\include{redukution}
\end{document}
%%% Local Variables:
......
\section{Reguläre Pumpeigenschaft\hfill {\small 9 Punkte}}
\begin{enumerate}[a)]
\item \marginpar[2/9]{} Geben sie die \textit{regulaere
\item Geben sie die \textit{regulaere
Pumpingeigenschaft} an:
\begin{quote}
\large Eine Sprache hat die reguläre Pumpingeigenschaft wenn...
\end{quote}
\item \marginpar[3/9]{} Zeigen sie direkt durch Anwendung der Definition der regulären
\item Zeigen sie direkt durch Anwendung der Definition der regulären
Pumpingeigenschaft, dass die Sprache
\[ L_{3b} = \left\{ z | z \in \left\{ a, b \right\}^{\ast}, |z| \geq
8, |z| \text{ist durch 4 teilbar}} \right\} \] die reguläre
\[ L_{3b} = \left\{ z \;|\; z \in \left\{ a, b \right\}^{\ast}, |z| \geq
8, |z| \text{ist durch 4 teilbar} \right\} \] die reguläre
Pumpingeigenschaft besitzt
\item \marginpar[4/9]{} Sei $\#_a(w)$ die Funktion die die Häufigkeit des Zeichens $a$ im
\item Sei $\#_a(w)$ die Funktion die die Häufigkeit des Zeichens $a$ im
Wort $w$ berechnet.
Zeigen sie direkt durch Anwendung der Definition der regulären
Pumpingeigenschaft, dass die Sprache \[ L_{3c} = \left\{ z | z \in
Pumpingeigenschaft, dass die Sprache \[ L_{3c} = \left\{ z \;|\; z \in
\left\{ a, b \right\}^{\ast}, 4 \cdot \#_a(z) = \#_b(z)
\right\} \] die reguläre Pumpingeigenschaft \textbf{nicht} besitzt.
\end{enumerate}
......
\section{$\mathrm{P} \stackrel{?}{=} \mathrm{NP}$ \hfill {\small 7 Punkte}}
\begin{enumerate}[a)]
\item Geben sie die Definition für $\textsc{Clique}$ an:
\[ \textsc{Clique} := \{ \]
......@@ -9,10 +11,10 @@
Zeigen Sie das $\textsc{AlleUngleich} \leq_p \textsc{Clique}$ gilt.
\item Angenommen $P = NP$, zeigen sie dass $\textsc{AlleUngleich}$
NP-Vollständig ist.
\item Angenommen $\mathrm{P} = \mathrm{NP}$, zeigen sie dass $\textsc{AlleUngleich}$
$\mathrm{NP}$-Vollständig ist.
Verwenden Sie hierzu die Definition der NP-Vollständigkeit.
Verwenden Sie hierzu die Definition der $\mathrm{NP}$-Vollständigkeit.
\end{enumerate}
%%% Local Variables:
......
Zeigen Sie oder wiederlegen Sie die folgenden AUssagen (die jeweiligen
Beweise sind außerst kurz):
\section{Wissensfragen \hfill {\small 6 Punkte}}
Zeigen Sie oder wiederlegen Sie die Folgenden Aussagen (die jeweiligen
Beweise sind äußerst kurz):
\begin{enumerate}[a)]
\item Sei $\alpha$ eine Reguläre Ausdruck. Enthält diese ein $\ast$
(dieses heißt $(\ldots)^{\ast}$) enthält die dadurch beschriebene
Sprache unendliche viele Wörter.
\item Wenn $N \neq NP$ gilt, dann gibt es mindestens ein Wort in
$NP$welches nicht entscheidbar ist.
\item Wenn $\mathrm{P} \neq \mathrm{NP}$ gilt, dann gibt es mindestens ein Wort in
$\mathrm{NP}$ welches nicht entscheidbar ist.
\item Die Sprache
\[ L_{1b} = \left\{ \left\langle M \right\rangle | \text{M ist eine 1.
Band TM, mit höchstens}} k \text{zuständen}} \right\} \]
ist entscheidbar.
\[ L_{1b} = \left\{ \left\langle M \right\rangle \;|\; \text{M ist eine
det. 1. Band TM, mit höchstens $k$ Zuständen} \right\} \] ist
entscheidbar.
\end{enumerate}
%%% Local Variables:
......
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