Unverified Commit f48128d2 authored by Philip Kaludercic's avatar Philip Kaludercic 🌝
Browse files

Ausbesserungen und Umformattierungen

parent b67350b1
\section{Automaten \hfill {\small 10 Punkte}}
\begin{enumerate}[a)] \begin{enumerate}[a)]
\item \marginpar[4/10]{} Gegeben sei der folgende \item Gegeben sei der folgende nichtdeterminischtische endliche Automat
nichtdeterminischtische endliche Automat $A_1$ mit $A_1$ mit $\Sigma = \left\{ a, b, c \right\}$:
$\Sigma = \left\{ a, b \right\}$:
\begin{center} \begin{center}
\begin{tikzpicture}[shorten >= 1pt, node distance = 3cm, on grid, \begin{tikzpicture}[->, shorten >= 1pt, node distance = 2cm, on grid]
auto] \node[state, initial] (q0) {$q_0$}; %
% \node[state, initial] (q1) {$q_0$}; % \node[state] (q1) [right of=q0] {$q_1$}; %
% \node[state] (q1) [right of= q1] {$q_1$}; % \node[state, accepting] (q2) [right of=q1] {$q_2$}; %
% \node[state, accepting] (q2) [right right of= q1] {$q_2$}; %
% \path[->] (q1) edge [loop above] node {$a | b$} (q1) %
% edge node {$b$} (q012)
% edge node [swap] {$c$} (qe)
% (q012) edge [loop above] node {$b, c$}
% (q012) edge node {$a$} (qe);
% q0 -> q0, a|b \path
% q0 -> q1, b (q0) edge [loop above] node {$a \;|\; b$} (q0)
% q1 -> q0, a (q0) edge [above] node {$b$} (q1)
% q2 -> q2, a|b (q1) edge [above] node {$a$} (q2)
\end{tikzpicture} (q2) edge [loop above] node {$a \;|\; b \;|\; c$} (q2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Konstruieren Sie mit dem Verfahren aus der Vorlesung (es muß erkennbar Konstruieren Sie mit dem Verfahren aus der Vorlesung (es muß erkennbar
sein!) eines zu $A_1$ einen äqivalenten deterministischen endlichen sein!) eines zu $A_1$ einen äqivalenten deterministischen endlichen
Automaten. Zeichnen sie nur die vom Startzusatand erreichbaren Automaten. Zeichnen sie nur die vom Startzusatand erreichbaren
Zustände, diese aber alle. Führen Sie keine "`Vereinfachungen"' durch. Zustände, diese aber alle. Führen Sie keine "`Vereinfachungen"' durch.
\end{center}
\item Gegeben sei der folgende nichtdeterminischtische endliche Automat
$A_2$ über $\Sigma = \left\{ 0, 1 \right\}$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[->, shorten >= 1pt, node distance = 2cm, on grid]
\node[state, initial] (a) {$A$}; %
\node[state] (b) [right of=a] {$B$}; %
\node[state, accepting] (c) [right of=b] {$C$}; %
\item \marginpar[2/10]{} Gegeben sei der folgende \path
nichtdeterminischtische endliche Automat $A_2$: (a) edge [above] node {0} (b)
\begin{tikzpicture}[shorten >= 1pt, node distance = 3cm, on grid, (b) edge [loop above] node {0 \;|\; 1} (b)
auto] (b) edge [above,bend left] node {0} (c)
% A -> B, 0 (c) edge [above,bend left] node {1} (b);
% B -> B, 0|1
% B -> C, 0
% C -> B, 1
\end{tikzpicture} \end{tikzpicture}
\end{center}
Stellen sie zu diesem ein Gleichungssystem auf: Stellen sie zu diesem ein Gleichungssystem auf:
\begin{equation*} \begin{align*}
A = 0B | \\ A & = 0\,B \\
B = \\ B & = \\
C = C & =
\end{equation*} \end{align*}
\item \marginpar[4/10]{} Lößen sie das obige Gleichungssystem und geben \item Lößen sie das obige Gleichungssystem und geben sie an welche
sie an welche Variable den regulären Ausdruck beschreibt. Variable den regulären Ausdruck beschreibt.
\end{enumerate} \end{enumerate}
%%% Local Variables: %%% Local Variables:
......
\section{Halteproblem \hfill {\small 8 Punkte}}
\begin{enumerate}[a)] \begin{enumerate}[a)]
\item \marginpar[2/8]{} Geben sie die Definition des \textit{Initialen \item Geben sie die Definition des \textit{Initialen
Halteproblems} an: Halteproblems} an:
\[ H_{\varepsilon} := \ldots \] \begin{align*}
\item \marginpar[6/8]{} Beweisen Sie mittels Reduktion, daß die Sprache \mathrm{H}_{\varepsilon} :=
\[ H_{2b} = \left\{ \left\langle M \right\rangle \# w | \text{Für eine \end{align*}
det. 1. Band TM $M$ existiert eine Eingabe $w \in \left\{ 0,1 \item Beweisen Sie mittels Reduktion, daß die
\right\}^{\ast}$ für die die $M$ nicht hällt, und für alle Sprache
Eingaben $w^{\prime}$ haltet.} \right\} \] \begin{align*}
nicht entscheidbar ist. Benutzen sie dazu das $H_{\varepsilon}$ nicht \mathrm{H}_{2b} = \{ \left\langle M \right\rangle\# w \;|\; &
\text{Für eine det. 1. Band TM $M$ existiert eine Eingabe
$w \in \{ 0,1 \}^{\ast}$}\\
& \text{für die die $M$ nicht hällt, und für alle Eingaben $w^{\prime}
\neq w$ haltet.} \}
\end{align*}
nicht entscheidbar ist. Benutzen sie dazu das $\mathrm{H}_{\varepsilon}$ nicht
entscheidbar ist. entscheidbar ist.
\end{enumerate} \end{enumerate}
......
\section{Kontextfreie Sprache \hfill {\small 5 Punkte}}
\begin{enumerate}[a)] \begin{enumerate}[a)]
\item \marginpar[2/5]{} \item Geben Sie die rekursive Definition des CYK-Algorithmus formal an:
% nicht-rekursive definition ...
Geben Sie die formale Definition des CYK-Algorithmus an:
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item[$i = j$] \[ V(i, i) := \] \item[$i = j$] \[ V(i, i) := \]
\item[$i < j$] \[ V(i, j) := \] \item[$i < j$] \[ V(i, j) := \]
\end{enumerate} \end{enumerate}
\item \marginpar[3/5]{} Gegeben Sei die folgende Grammatik \item Gegeben Sei die folgende Grammatik
$G = (V, \Sigma, \mathcal{P}, \mathcal{S})$, $G = (V, \Sigma, \mathcal{P}, \mathcal{S})$,
\begin{align*} \begin{align*}
\mathcal{S} \rightarrow AB | DB & A \rightarrow a & B \rightarrow b\\ \mathcal{S} &\rightarrow AB | DB \\
C \rightarrow AB | DB & B \rightarrow AC\\ A &\rightarrow a \\
B &\rightarrow b\\
C &\rightarrow AB | DB \\
B &\rightarrow AC
\end{align*} \end{align*}
Vervollständigen Sie die Tabelle für die Eingabe $w = $ Vervollständigen Sie die Tabelle für die Eingabe $w = $
\texttt{aaabbb} an den Stellen $V(i, j)$. Ist das Wort $w$ in der \texttt{aaabbb} an den Stellen $V(i, j)$. Ist das Wort $w$ in der
Sprache $L(G)$ enthalten? Wie wissen sie dies? Sprache $L(G)$ enthalten? Wie wissen sie dies?
% {A} {A} {A} {B} {B} {B} \vspace{1cm}
% / / {S,C} / /
% / {D} / / \begin{center}
% / {S,C} / \begin{tikzpicture}
% ? ? \matrix(M)[
% ? matrix of nodes,
row sep=-\pgflinewidth,
column sep=-\pgflinewidth,
nodes={draw,minimum width=1.5cm,minimum height=1.5cm}
]{
\{A\}&\{A\}&\{A\}&\{B\}&\{B\}&\{B\}\\
\{\}&\{\}&\{S,C\}&\{\}&\{\}\\
\{\}&\{D\}&\{\}&\{\}\\
\{\}&\{S,C\}&\{\}\\
$V(1, 5)$&$V(2, 6)$\\
$V(1, 6)$\\
};
\begin{scope}[font=\ttfamily{}]
\node[above=4pt of M-1-1] {a};
\node[above=4pt of M-1-2] {a};
\node[above=4pt of M-1-3] {a};
\node[above=4pt of M-1-4] {b};
\node[above=4pt of M-1-5] {b};
\node[above=4pt of M-1-6] {b};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate} \end{enumerate}
%%% Local Variables: %%% Local Variables:
......
\RequirePackage[l2tabu, orthodox]{nag} \RequirePackage[l2tabu, orthodox]{nag} %
\documentclass[ % \documentclass[a4paper,frontpage,fleqn]{scrartcl}
a4paper, %
10pt, %
ngerman, %
titlepage=false, %
draft %
]{scrreprt} %
\usepackage[T1]{fontenc} % \usepackage[T1]{fontenc} %
\usepackage[utf8]{inputenc} % \usepackage[utf8]{inputenc} %
\usepackage{babel} % \usepackage[ngerman]{babel} %
\usepackage{hyperref} % \usepackage{hyperref} %
\usepackage{lmodern} % \usepackage{lmodern} %
\usepackage{microtype} % \usepackage{microtype} %
\usepackage[margin=2.71828182846cm]{geometry} % \usepackage[margin=2.71828182846cm]{geometry} %
\usepackage{amsfonts} %
\usepackage{amssymb} %
\usepackage{amsmath} %
\usepackage[shortlabels]{enumitem} % \usepackage[shortlabels]{enumitem} %
\usepackage{amsmath} %
\usepackage{tikz} % \usepackage{tikz} %
\usetikzlibrary{arrows,automata,positioning} % \usetikzlibrary{arrows,automata,positioning,matrix} %
\subject{Klausur Braindump} % \subject{Klausur Braindump} %
\title{Berechenbarkeit und Formelle Sprachen} % \title{Berechenbarkeit und Formelle Sprachen} %
\date{\textsc{Wintersemester 18/19}} % \date{\textsc{Wintersemester 18/19}} %
\author{ \author{Diverse Teilnehmer}
Diverse Teilnehmer\\
{\small
Fehler und Verbesserungen via
\href{https://gitlab.cs.fau.de/oj14ozun/bfs-ws18}{Gitlab} melden.
}
}
\begin{document} \begin{document}
\maketitle{} \maketitle{}
\vfill{}
\section{Wissensfragen}
\marginpar{6/45} \begin{abstract}
\input{wissensfragen} \ttfamily{}
\noindent Keine Garantie auf Richtigkeit. Angaben werden zum meisten Teil
\section{Halteproblem} vereinfacht wiedergegeben.
\marginpar{8/45}
\input{halteproblem} \noindent Fehler und Verbesserungen via
\href{https://gitlab.cs.fau.de/oj14ozun/bfs-ws18}{Gitlab} melden.
\section{Reguläre Pumpeigenschaft} \end{abstract}
\marginpar{9/45} \include{wissensfragen}
\input{pumpingeigenschaft} \include{halteproblem}
\include{pumpingeigenschaft}
\section{Automaten} \include{automaten}
\marginpar{10/45} \include{kontextfrei}
\input{automaten} \include{redukution}
\section{Kontextfreie Sprache}
\marginpar{5/45}
\input{kontextfrei}
\section{$P = NP$}
\marginpar{7/45}
\input{redukution}
\end{document} \end{document}
%%% Local Variables: %%% Local Variables:
......
\section{Reguläre Pumpeigenschaft\hfill {\small 9 Punkte}}
\begin{enumerate}[a)] \begin{enumerate}[a)]
\item \marginpar[2/9]{} Geben sie die \textit{regulaere \item Geben sie die \textit{regulaere
Pumpingeigenschaft} an: Pumpingeigenschaft} an:
\begin{quote} \begin{quote}
\large Eine Sprache hat die reguläre Pumpingeigenschaft wenn... \large Eine Sprache hat die reguläre Pumpingeigenschaft wenn...
\end{quote} \end{quote}
\item \marginpar[3/9]{} Zeigen sie direkt durch Anwendung der Definition der regulären \item Zeigen sie direkt durch Anwendung der Definition der regulären
Pumpingeigenschaft, dass die Sprache Pumpingeigenschaft, dass die Sprache
\[ L_{3b} = \left\{ z | z \in \left\{ a, b \right\}^{\ast}, |z| \geq \[ L_{3b} = \left\{ z \;|\; z \in \left\{ a, b \right\}^{\ast}, |z| \geq
8, |z| \text{ist durch 4 teilbar}} \right\} \] die reguläre 8, |z| \text{ist durch 4 teilbar} \right\} \] die reguläre
Pumpingeigenschaft besitzt Pumpingeigenschaft besitzt
\item \marginpar[4/9]{} Sei $\#_a(w)$ die Funktion die die Häufigkeit des Zeichens $a$ im \item Sei $\#_a(w)$ die Funktion die die Häufigkeit des Zeichens $a$ im
Wort $w$ berechnet. Wort $w$ berechnet.
Zeigen sie direkt durch Anwendung der Definition der regulären Zeigen sie direkt durch Anwendung der Definition der regulären
Pumpingeigenschaft, dass die Sprache \[ L_{3c} = \left\{ z | z \in Pumpingeigenschaft, dass die Sprache \[ L_{3c} = \left\{ z \;|\; z \in
\left\{ a, b \right\}^{\ast}, 4 \cdot \#_a(z) = \#_b(z) \left\{ a, b \right\}^{\ast}, 4 \cdot \#_a(z) = \#_b(z)
\right\} \] die reguläre Pumpingeigenschaft \textbf{nicht} besitzt. \right\} \] die reguläre Pumpingeigenschaft \textbf{nicht} besitzt.
\end{enumerate} \end{enumerate}
......
\section{$\mathrm{P} \stackrel{?}{=} \mathrm{NP}$ \hfill {\small 7 Punkte}}
\begin{enumerate}[a)] \begin{enumerate}[a)]
\item Geben sie die Definition für $\textsc{Clique}$ an: \item Geben sie die Definition für $\textsc{Clique}$ an:
\[ \textsc{Clique} := \{ \] \[ \textsc{Clique} := \{ \]
...@@ -9,10 +11,10 @@ ...@@ -9,10 +11,10 @@
Zeigen Sie das $\textsc{AlleUngleich} \leq_p \textsc{Clique}$ gilt. Zeigen Sie das $\textsc{AlleUngleich} \leq_p \textsc{Clique}$ gilt.
\item Angenommen $P = NP$, zeigen sie dass $\textsc{AlleUngleich}$ \item Angenommen $\mathrm{P} = \mathrm{NP}$, zeigen sie dass $\textsc{AlleUngleich}$
NP-Vollständig ist. $\mathrm{NP}$-Vollständig ist.
Verwenden Sie hierzu die Definition der NP-Vollständigkeit. Verwenden Sie hierzu die Definition der $\mathrm{NP}$-Vollständigkeit.
\end{enumerate} \end{enumerate}
%%% Local Variables: %%% Local Variables:
......
Zeigen Sie oder wiederlegen Sie die folgenden AUssagen (die jeweiligen \section{Wissensfragen \hfill {\small 6 Punkte}}
Beweise sind außerst kurz):
Zeigen Sie oder wiederlegen Sie die Folgenden Aussagen (die jeweiligen
Beweise sind äußerst kurz):
\begin{enumerate}[a)] \begin{enumerate}[a)]
\item Sei $\alpha$ eine Reguläre Ausdruck. Enthält diese ein $\ast$ \item Sei $\alpha$ eine Reguläre Ausdruck. Enthält diese ein $\ast$
(dieses heißt $(\ldots)^{\ast}$) enthält die dadurch beschriebene (dieses heißt $(\ldots)^{\ast}$) enthält die dadurch beschriebene
Sprache unendliche viele Wörter. Sprache unendliche viele Wörter.
\item Wenn $N \neq NP$ gilt, dann gibt es mindestens ein Wort in \item Wenn $\mathrm{P} \neq \mathrm{NP}$ gilt, dann gibt es mindestens ein Wort in
$NP$welches nicht entscheidbar ist. $\mathrm{NP}$ welches nicht entscheidbar ist.
\item Die Sprache \item Die Sprache
\[ L_{1b} = \left\{ \left\langle M \right\rangle | \text{M ist eine 1. \[ L_{1b} = \left\{ \left\langle M \right\rangle \;|\; \text{M ist eine
Band TM, mit höchstens}} k \text{zuständen}} \right\} \] det. 1. Band TM, mit höchstens $k$ Zuständen} \right\} \] ist
ist entscheidbar. entscheidbar.
\end{enumerate} \end{enumerate}
%%% Local Variables: %%% Local Variables:
......
Markdown is supported
0% or .
You are about to add 0 people to the discussion. Proceed with caution.
Finish editing this message first!
Please register or to comment