Ausbesserungen und Umformattierungen

automaten.tex

+\section{Automaten \hfill {\small 10 Punkte}}
+
 \begin{enumerate}[a)]
-\item \marginpar[4/10]{} Gegeben sei der folgende
-  nichtdeterminischtische endliche Automat $A_1$ mit
-  $\Sigma = \left\{ a, b \right\}$:
+\item Gegeben sei der folgende nichtdeterminischtische endliche Automat
+  $A_1$ mit $\Sigma = \left\{ a, b, c \right\}$:
   \begin{center}
-  \begin{tikzpicture}[shorten >= 1pt, node distance = 3cm, on grid,
-	auto]
-	% \node[state, initial] (q1) {$q_0$}; %
-    % \node[state] (q1) [right of= q1] {$q_1$}; %
-	% \node[state, accepting] (q2) [right right of= q1] {$q_2$}; %
-
-	% \path[->] (q1) edge [loop above] node {$a | b$} (q1) %
-	% edge node {$b$} (q012)
-	% edge node [swap] {$c$} (qe)
-	% (q012) edge [loop above] node {$b, c$}
-	% (q012) edge node {$a$} (qe);
-
-    % q0 -> q0, a|b
-    % q0 -> q1, b
-    % q1 -> q0, a
-    % q2 -> q2, a|b
+    \begin{tikzpicture}[->, shorten >= 1pt, node distance = 2cm, on grid]
+      \node[state, initial]           (q0) {$q_0$}; %
+      \node[state]                    (q1) [right of=q0] {$q_1$}; %
+      \node[state, accepting]         (q2) [right of=q1] {$q_2$}; %
+
+      \path
+      (q0) edge [loop above]          node {$a \;|\; b$} (q0)
+      (q0)  edge [above]               node {$b$} (q1)
+      (q1) edge [above]               node {$a$} (q2)
+      (q2) edge [loop above]          node {$a \;|\; b \;|\; c$} (q2);
     \end{tikzpicture}
+  \end{center}
+  
   Konstruieren Sie mit dem Verfahren aus der Vorlesung (es muß erkennbar
   sein!) eines zu $A_1$ einen äqivalenten deterministischen endlichen
   Automaten. Zeichnen sie nur die vom Startzusatand erreichbaren
   Zustände, diese aber alle. Führen Sie keine "`Vereinfachungen"' durch.
-\end{center}
-
-\item \marginpar[2/10]{} Gegeben sei der folgende
-  nichtdeterminischtische endliche Automat $A_2$:
-  \begin{tikzpicture}[shorten >= 1pt, node distance = 3cm, on grid,
-	auto]
-    % A -> B, 0
-    % B -> B, 0|1
-    % B -> C, 0
-    % C -> B, 1
+
+\item Gegeben sei der folgende nichtdeterminischtische endliche Automat
+  $A_2$ über $\Sigma = \left\{ 0, 1 \right\}$:
+  \begin{center}
+  \begin{tikzpicture}[->, shorten >= 1pt, node distance = 2cm, on grid]
+    \node[state, initial] (a) {$A$}; %
+    \node[state] (b) [right of=a] {$B$}; %
+    \node[state, accepting] (c) [right of=b] {$C$}; %
+
+    \path
+    (a) edge [above] node {0} (b)
+    (b) edge [loop above] node {0 \;|\; 1} (b)
+    (b) edge [above,bend left] node {0} (c)
+    (c) edge [above,bend left] node {1} (b);
   \end{tikzpicture}
+  \end{center}
 
   Stellen sie zu diesem ein Gleichungssystem auf:
-  \begin{equation*}
-    A = 0B | \\
-    B = \\
-    C =
-  \end{equation*}
-  
-\item \marginpar[4/10]{} Lößen sie das obige Gleichungssystem und geben
-  sie an welche Variable den regulären Ausdruck beschreibt.
+  \begin{align*}
+    A & = 0\,B \\
+    B & = \\
+    C & =
+  \end{align*}
+  
+\item Lößen sie das obige Gleichungssystem und geben sie an welche
+  Variable den regulären Ausdruck beschreibt. 
 \end{enumerate}
 
 %%% Local Variables:

halteproblem.tex

+\section{Halteproblem \hfill {\small 8 Punkte}}
+
 \begin{enumerate}[a)]
-\item \marginpar[2/8]{} Geben sie die Definition des \textit{Initialen
+\item Geben sie die Definition des \textit{Initialen
     Halteproblems} an:
-  \[ H_{\varepsilon} := \ldots \]
-\item \marginpar[6/8]{} Beweisen Sie mittels Reduktion, daß die Sprache
-  \[ H_{2b} = \left\{ \left\langle M \right\rangle \# w | \text{Für eine
-        det. 1. Band TM $M$ existiert eine Eingabe $w \in \left\{ 0,1
-        \right\}^{\ast}$ für die die $M$ nicht hällt, und für alle
-        Eingaben $w^{\prime}$ haltet.} \right\} \]
-  nicht entscheidbar ist. Benutzen sie dazu das $H_{\varepsilon}$ nicht
+  \begin{align*}
+    \mathrm{H}_{\varepsilon} :=
+  \end{align*}
+\item Beweisen Sie mittels Reduktion, daß die
+  Sprache
+  \begin{align*}
+    \mathrm{H}_{2b} = \{ \left\langle M \right\rangle\# w \;|\; &
+    \text{Für eine det. 1. Band TM $M$ existiert eine Eingabe
+      $w \in \{ 0,1 \}^{\ast}$}\\
+    & \text{für die die $M$ nicht hällt, und für alle Eingaben $w^{\prime}
+    \neq w$ haltet.} \}
+  \end{align*}
+  nicht entscheidbar ist. Benutzen sie dazu das $\mathrm{H}_{\varepsilon}$ nicht
   entscheidbar ist.
 \end{enumerate}
 

kontextfrei.tex

-\begin{enumerate}[a)]
-\item \marginpar[2/5]{}
-  % nicht-rekursive definition ...
+\section{Kontextfreie Sprache \hfill {\small 5 Punkte}}
 
-  Geben Sie die formale Definition des CYK-Algorithmus an:
+\begin{enumerate}[a)]
+\item Geben Sie die rekursive Definition des CYK-Algorithmus formal an:
   \begin{enumerate}
   \item[$i = j$] \[ V(i, i) := \]
   \item[$i < j$] \[ V(i, j) := \]
   \end{enumerate}
   
-\item \marginpar[3/5]{} Gegeben Sei die folgende Grammatik
+\item Gegeben Sei die folgende Grammatik
   $G = (V, \Sigma, \mathcal{P}, \mathcal{S})$,
   \begin{align*}
-    \mathcal{S} \rightarrow AB | DB & A \rightarrow a & B \rightarrow b\\
-    C \rightarrow AB | DB & B \rightarrow AC\\
+    \mathcal{S} &\rightarrow AB | DB \\
+    A &\rightarrow a  \\
+    B &\rightarrow b\\
+    C &\rightarrow AB | DB \\
+    B &\rightarrow AC
   \end{align*}
 
   Vervollständigen Sie die Tabelle für die Eingabe $w = $
   \texttt{aaabbb} an den Stellen $V(i, j)$. Ist das Wort $w$ in der
   Sprache $L(G)$ enthalten? Wie wissen sie dies?
 
-  % {A} {A} {A} {B} {B} {B}
-  %  /   / {S,C} /   /
-  %  /  {D}  /   /
-  %  / {S,C} /
-  %  ?   ?
-  %  ?
+  \vspace{1cm}
+  
+  \begin{center}
+    \begin{tikzpicture}
+      \matrix(M)[
+      matrix of nodes,
+      row sep=-\pgflinewidth,
+      column sep=-\pgflinewidth,
+      nodes={draw,minimum width=1.5cm,minimum height=1.5cm}
+      ]{
+        \{A\}&\{A\}&\{A\}&\{B\}&\{B\}&\{B\}\\
+        \{\}&\{\}&\{S,C\}&\{\}&\{\}\\
+        \{\}&\{D\}&\{\}&\{\}\\
+        \{\}&\{S,C\}&\{\}\\
+        $V(1, 5)$&$V(2, 6)$\\
+        $V(1, 6)$\\
+      };
+      
+      \begin{scope}[font=\ttfamily{}]
+        \node[above=4pt of M-1-1] {a};
+        \node[above=4pt of M-1-2] {a};
+        \node[above=4pt of M-1-3] {a};
+        \node[above=4pt of M-1-4] {b};
+        \node[above=4pt of M-1-5] {b};
+        \node[above=4pt of M-1-6] {b};
+      \end{scope}         
+    \end{tikzpicture}
+  \end{center}
 \end{enumerate}
 
 %%% Local Variables:

master.tex

-\RequirePackage[l2tabu, orthodox]{nag}
-\documentclass[ %
-a4paper, %
-10pt, %
-ngerman, %
-titlepage=false, %
-draft %
-]{scrreprt} %
+\RequirePackage[l2tabu, orthodox]{nag} %
+\documentclass[a4paper,frontpage,fleqn]{scrartcl}
 
 \usepackage[T1]{fontenc} %
 \usepackage[utf8]{inputenc} %
-\usepackage{babel} %
+\usepackage[ngerman]{babel} %
 \usepackage{hyperref} %
 \usepackage{lmodern} %
 \usepackage{microtype} %
 \usepackage[margin=2.71828182846cm]{geometry} %
-\usepackage{amsfonts} %
-\usepackage{amssymb} %
-\usepackage{amsmath} %
 \usepackage[shortlabels]{enumitem} %
+\usepackage{amsmath} %
+
 \usepackage{tikz} %
-\usetikzlibrary{arrows,automata,positioning} %
+\usetikzlibrary{arrows,automata,positioning,matrix} %
 
 \subject{Klausur Braindump} %
 \title{Berechenbarkeit und Formelle Sprachen} %
 \date{\textsc{Wintersemester 18/19}} %
-\author{ 
-  Diverse Teilnehmer\\
-  {\small
-    Fehler und Verbesserungen via
-    \href{https://gitlab.cs.fau.de/oj14ozun/bfs-ws18}{Gitlab} melden.
-  }
-}
+\author{Diverse Teilnehmer}
 
 \begin{document}
 \maketitle{}
+\vfill{}
 
-\section{Wissensfragen}
-\marginpar{6/45}
-\input{wissensfragen}
-
-\section{Halteproblem}
-\marginpar{8/45}
-\input{halteproblem}
+\begin{abstract}
+  \ttfamily{}
+  \noindent Keine Garantie auf Richtigkeit. Angaben werden zum meisten Teil
+  vereinfacht wiedergegeben.
 
-\section{Reguläre Pumpeigenschaft}
-\marginpar{9/45}
-\input{pumpingeigenschaft}
-
-\section{Automaten}
-\marginpar{10/45}
-\input{automaten}
-
-\section{Kontextfreie Sprache}
-\marginpar{5/45}
-\input{kontextfrei}
-
-\section{$P = NP$}
-\marginpar{7/45}
-\input{redukution}
+  \noindent Fehler und Verbesserungen via
+  \href{https://gitlab.cs.fau.de/oj14ozun/bfs-ws18}{Gitlab} melden.
+\end{abstract}
+\include{wissensfragen}
+\include{halteproblem}
+\include{pumpingeigenschaft}
+\include{automaten}
+\include{kontextfrei}
+\include{redukution}
 \end{document}
 
 %%% Local Variables:

pumpingeigenschaft.tex

+\section{Reguläre Pumpeigenschaft\hfill {\small 9 Punkte}}
+
 \begin{enumerate}[a)]
-\item \marginpar[2/9]{} Geben sie die \textit{regulaere
+\item Geben sie die \textit{regulaere
     Pumpingeigenschaft} an:
   \begin{quote}
     \large Eine Sprache hat die reguläre Pumpingeigenschaft wenn...
   \end{quote}
   
-\item \marginpar[3/9]{} Zeigen sie direkt durch Anwendung der Definition der regulären
+\item Zeigen sie direkt durch Anwendung der Definition der regulären
   Pumpingeigenschaft, dass die Sprache
-  \[ L_{3b} = \left\{ z | z \in \left\{ a, b \right\}^{\ast}, |z| \geq
-      8, |z| \text{ist durch 4 teilbar}} \right\} \] die reguläre
+  \[ L_{3b} = \left\{ z \;|\; z \in \left\{ a, b \right\}^{\ast}, |z| \geq
+      8, |z| \text{ist durch 4 teilbar} \right\} \] die reguläre
 Pumpingeigenschaft besitzt
 
-\item \marginpar[4/9]{} Sei $\#_a(w)$ die Funktion die die Häufigkeit des Zeichens $a$ im
+\item Sei $\#_a(w)$ die Funktion die die Häufigkeit des Zeichens $a$ im
   Wort $w$ berechnet.
 
   Zeigen sie direkt durch Anwendung der Definition der regulären
-  Pumpingeigenschaft, dass die Sprache \[ L_{3c} = \left\{ z | z \in
+  Pumpingeigenschaft, dass die Sprache \[ L_{3c} = \left\{ z \;|\; z \in
       \left\{ a, b \right\}^{\ast}, 4 \cdot \#_a(z) = \#_b(z)
     \right\} \] die reguläre Pumpingeigenschaft \textbf{nicht} besitzt.
 \end{enumerate}

redukution.tex

+\section{$\mathrm{P} \stackrel{?}{=} \mathrm{NP}$ \hfill {\small 7 Punkte}}
+
 \begin{enumerate}[a)]
 \item Geben sie die Definition für $\textsc{Clique}$ an:
   \[ \textsc{Clique} := \{ \]
@@ -9,10 +11,10 @@
 
   Zeigen Sie das $\textsc{AlleUngleich} \leq_p \textsc{Clique}$ gilt.
   
-\item Angenommen $P = NP$, zeigen sie dass $\textsc{AlleUngleich}$
-  NP-Vollständig ist.
+\item Angenommen $\mathrm{P} = \mathrm{NP}$, zeigen sie dass $\textsc{AlleUngleich}$
+  $\mathrm{NP}$-Vollständig ist.
 
-  Verwenden Sie hierzu die Definition der NP-Vollständigkeit.
+  Verwenden Sie hierzu die Definition der $\mathrm{NP}$-Vollständigkeit.
 \end{enumerate}
 
 %%% Local Variables:

wissensfragen.tex

-Zeigen Sie oder wiederlegen Sie die folgenden AUssagen (die jeweiligen
-Beweise sind außerst kurz):
+\section{Wissensfragen \hfill {\small 6 Punkte}}
+
+Zeigen Sie oder wiederlegen Sie die Folgenden Aussagen (die jeweiligen
+Beweise sind äußerst kurz):
 
 \begin{enumerate}[a)]
 \item Sei $\alpha$ eine Reguläre Ausdruck. Enthält diese ein $\ast$
   (dieses heißt $(\ldots)^{\ast}$) enthält die dadurch beschriebene
   Sprache unendliche viele Wörter.
-\item Wenn $N \neq NP$ gilt, dann gibt es mindestens ein Wort in
-  $NP$welches nicht entscheidbar ist.
+\item Wenn $\mathrm{P} \neq \mathrm{NP}$ gilt, dann gibt es mindestens ein Wort in
+  $\mathrm{NP}$ welches nicht entscheidbar ist.
 \item Die Sprache
-  \[ L_{1b} = \left\{ \left\langle M \right\rangle | \text{M ist eine 1.
-        Band TM, mit höchstens}} k \text{zuständen}} \right\} \]
-      ist entscheidbar.
+  \[ L_{1b} = \left\{ \left\langle M \right\rangle \;|\; \text{M ist eine
+        det. 1. Band TM, mit höchstens $k$ Zuständen} \right\} \] ist
+  entscheidbar.
 \end{enumerate}
 
 %%% Local Variables: