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Keine Ableitung, stattdessen einfach argumentieren

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Pipeline #53471 passed with stage
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......@@ -72,39 +72,18 @@ Wir verwenden Energieerhaltung
%TODO: Ist der Detektor unendlich dünn?
\section*{14, Radius eines Kohlenstoffkerns}
\subsection*{a}
Wir haben \(\theta_1=\SI{1}{\degree}\) und \(
\dv{I(\theta_1)}{\theta} = 0
\) gegeben.
\begin{align*}
\dv{I(\theta)}{\theta}
&= I_0\bigg[
2\sin\left(\frac{\pi b}{\lambda}\sin(\theta)\right) \frac{\pi b}{\lambda}\cos(\theta)
\left(\frac{\pi b}{\lambda}\sin(\theta)\right)^{-2} \\
&-2 \sin^2\left(\frac{\pi b}{\lambda}\sin(\theta)\right)\left(\frac{\pi b}{\lambda}\sin(\theta)\right)^{-3} \frac{\pi b}{\lambda}\cos(\theta)
\bigg]
\end{align*}
\begin{align*}
\Rightarrow 1
&= \frac{\sin\left(\frac{\pi b}{\lambda}\sin(\theta_1)\right)}{\frac{\pi b}{\lambda}\sin(\theta_1)}
= \mathrm{sinc}\left(\frac{\pi b}{\lambda}\sin(\theta_1)\right)
,\end{align*}
oder
\begin{align*}
0
&= \sin\left(\frac{\pi b}{\lambda}\sin(\theta_1)\right) \frac{\pi b}{\lambda}\cos(\theta_1)
.\end{align*}
In beiden Fällen ist \(b=0\) eine Lösung.
Im zweiten Fall sind auch
\begin{align*}
\frac{\pi b}{\lambda}\sin(\theta_1) = k \pi
\end{align*}
mit \(k\in \mathbb{N}\) Lösungen, also
\begin{align*}
b = \frac{k\lambda}{\sin(\theta_1)}
.\end{align*}
Laut Angabe handelt es sich bei \(\theta_1=\SI{1}{\degree}\) um das erste Minimum, weshalb wir \(k=1\) setzen
Das erste Minimum von
\begin{equation}
I(\theta) = I_0\, \mathrm{sinc}^2\left(\frac{\pi b}{\lambda}\sin\theta\right)
\end{equation}
liegt bei \(\theta_1 = \SI{1}{\degree}\).
Die Minima von \(\mathrm{sinc}^2(x)\) liegen bei den \(x\in \mathbb{R}\), für die \(\mathrm{sinc}(x)=0\), also \(\sin(x)=0\), bzw. für \(k\in \mathbb{N}\) \[
x = k\pi
\] gilt.
In unserem Fall handelt es sich um das erste Minimum, weshalb wir \(k=1\) setzen und erhalten damit
\begin{align*}
b = \frac{\lambda}{\sin(\theta_1)}
\frac{\pi b}{\lambda}\sin\theta_1 = \pi \\
\Leftrightarrow b = \frac{\lambda}{\sin\theta_1}
= \frac{\SI{500}{\nano\metre}}{\sin(\SI{1}{\degree})}
\approx \SI{28649.344249275095}{\nano\metre}
\approx \SI{28.6}{\micro\metre}
......
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