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\title{Lösung EP-5 Übungsblatt}
......@@ -94,13 +95,101 @@ Laut Wikipedia lautet die Formel
= \SI{9.006230732116448e-05}{\second} \\
&\approx \SI{9.0}{\second}
.\end{align*}
Da sich das Proton auf einer Kreisbahn bewegt befindet es sich nicht in einem Inertialsystem.
Da sich das Proton auf einer Kreisbahn bewegt, befindet es sich nicht in einem Inertialsystem.
Deshalb müsste man die allgemeine Relativitätstheorie benutzen um die Eigenzeit \(\Delta t'\) zu berechnen.
Geht man jedoch davon aus, dass es sich in einem Inertialsystem befindet, dann erhält man
\begin{align*}
\Delta t' = \frac{\Delta t}{\gamma} = \frac{\SI{9.006230732116448e-05}{\second}}{\num{7461.522473522262}}
= \SI{1.2070231998999792e-08}{\second}
.\end{align*}
\subsection{}
\begin{align*}
p
&= qBR \\
B &= \frac{p}{qR} = \frac{2\pi \,p}{e \, s}
= \frac{2\pi \, \gamma m_{\mathrm{P}}v}{e \, s} \\
&= \frac{2\pi \cdot \num{7461.522473522262} \cdot m_{\mathrm{P}} \cdot \num{0.9999999820383968}\,c}{e \cdot \SI{27}{\kilo\metre}} \\
&= \SI{5.43440050481426}{\tesla}
\approx \SI{5.4}{\tesla}
.\end{align*}
\section{Invariante Masse}
\subsection{}
Bevorzugt man die Minkowski-Metrik \(\eta = \mathrm{diag}(-1,1,1,1)\) dann hat man
\begin{align*}
p_{\mu}p^{\mu}
&= -E^2+\vec{p}^2
.\end{align*}
Für die Lorentztransformation \(L^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu}\) gilt \[
L( \vec{\beta}) =
\begin{pmatrix}
\gamma(\beta) & -\gamma(\beta)\vec{\beta}^T \\
-\gamma(\beta)\vec{\beta} & \mathbbm{1}_3 + \frac{\gamma(\beta)-1}{\beta^2}\vec{\beta}\otimes\vec{\beta}^T
\end{pmatrix}
\] oder mit Indexschreibweise
\begin{align*}
L^{0}_{\phantom{0}0} &= \gamma \\
L^{0}_{\phantom{0}a} &= -\gamma\beta_a \\
L^{a}_{\phantom{b}b} &= \delta^{a}_{\phantom{a}b} + \frac{\gamma -1}{\beta^c\beta_c}\beta^a\beta_b \\
L^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu} &= L^{\phantom{\nu}\mu}_{\nu}
,\end{align*}
wobei \(\beta = |\vec{\beta}|\), \(\gamma=(1-\beta^a\beta_a)^{-\frac{1}{2}}\) und
\(\delta^a_{\phantom{a}b}\) ist das Kronecker-Delta.
Somit erhält man für \(p' = Lp\) dann
\begin{align*}
p'^{0} &= L^{0}_{\phantom{0}\mu}p^{\mu}
= L^{0}_{\phantom{0}0}p^{0} + L^{0}_{\phantom{0}a}p^{a}
= \gamma E -\gamma \beta_a p^{a}
= \gamma (E - \beta_a p^{a}) \\
p'^{a} &= L^{a}_{\phantom{a}\mu}p^{\mu}
= L^{a}_{\phantom{a}0}p^{0} + L^{a}_{\phantom{a}b}p^{b}
= -\gamma\beta^ap^{0}
+ \left(\delta^{a}_{\phantom{a}b} + \frac{\gamma -1}{\beta^c\beta_c}\beta^a\beta_b\right) p^{b} \\
&= -\gamma\beta^aE + p^a + \frac{\gamma -1}{\beta^c\beta_c}\beta_bp^b\beta^a
.\end{align*}
\begin{align*}
p'^{\mu} p'_{\mu}
&= p'^{0}p'_{0} + p'^{a}p'_{a} \\
&= -\gamma^2(E-\beta_ap^a)^2 \\
&+ \left(-\gamma\beta^aE + p^a + \frac{\gamma -1}{\beta^c\beta_c}\beta_bp^b\beta^a\right)
\left(-\gamma\beta_aE + p_a + \frac{\gamma -1}{\beta^c\beta_c}\beta_bp^b\beta_a\right) \\
&= -\gamma^2E^2+2\gamma^2E\beta_ap^a-\gamma^2(\beta_ap^a)^2 \\
&+ \gamma^2E^2\beta^a\beta_a -\gamma E\beta^ap_a -E\gamma(\gamma-1)\beta_ap^a \\
&- \gamma E\beta_ap^a + p^ap_a + \frac{\gamma-1}{\beta^c\beta_c}(\beta_ap^a)^2 \\
&- E\gamma(\gamma-1)\beta_ap^a + \frac{\gamma-1}{\beta^c\beta_c}(\beta_ap^a)^2 + \frac{(\gamma-1)^2}{\beta^c\beta_c}(\beta_ap^a)^2 \\
&= \gamma^2E^2(-1+\beta_a\beta^a) \\
&+ E\gamma\beta_ap^a\left[2\gamma -1 -(\gamma-1) -1 -(\gamma-1) \right] \\
&+ (\beta_ap^a)\left[-\gamma^2 + \frac{\gamma-1}{\beta^c\beta_c} + \frac{\gamma-1}{\beta^c\beta_c} + \frac{(\gamma-1)^2}{\beta^c\beta_c}\right] \\
&+ p^ap_a
.\end{align*}
When we look at
\begin{align*}
\gamma^2-1
&= \left[(\gamma-1)+1\right]^2-1
= (\gamma-1)^2+2(\gamma-1)
\end{align*}
we see that we can write the big bracket as
\begin{align*}
-\gamma^2 + \frac{\gamma^2-1}{\beta^c\beta_c}
&= \frac{1}{\beta^c\beta_c}\left(-\beta^c\beta_c\gamma^2+\gamma^2-1\right)
= \frac{1}{\beta^c\beta_c}\left[\gamma^2(1-\beta^c\beta_c) + 1\right]
= 0
\end{align*}
which finally proves \[
p'^{\mu}p'_{\mu} = -E^2+\vec{p}^2 = p^{\mu}p_{\mu} \qquad\square
.\]
\subsection{}
Mit \(c=1\) hat \(\sqrt{s}\) die Dimension einer Masse.
Betrachtet man das Inertialsystem in dem der Massenschwerpunkt des Systems in Ruhe ist,
also der Gesamtimpuls \(\vec{P} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = 0\) verschwindet, dann entspricht \[
\sqrt{s} = \sqrt{(E_1+E_2)^2} = E_1+E_2 = \gamma(v_1)m_1+\gamma(v_2)m_2
\] der Gesamtmasse des Systems.
Da, wie vorhin gezeigt wurde, \(s\) invariant ist, nennt man \(\sqrt{s}\) die invariante Masse.
\subsection{}
Wie bereits gesagt ist im CMS \(\sqrt{s} = \gamma(v_1)m_1+\gamma(v_2)m_2\).
Im Laborsystem hingegen rechnet man \[
s = \sqrt{E_1^2-\vec{p_1}^2} = \sqrt{\gamma(v_1)^2m_1^2 - \gamma(v_1)^2m_1^2 \vec{v}_1^2}
= \gamma(v_1) m_1\sqrt{1-\vec{v}_1^2} = m_1 < \gamma(v_1)m_1
.\] Die Masse des ruhenden Teilchens spielt hier also keine Rolle.
Außerdem wird der \(\gamma\)-Faktor gar nicht ausgenutzt während im CMS der \(\gamma\)-Faktor beider Teilchen eine Rolle spielt.
\end{document}
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