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3 b und c ausgebessert

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......@@ -178,18 +178,37 @@ schreiben lässt womit man schlussendlich \[
p'^{\mu}p'_{\mu} = -E^2+\vec{p}^2 = p^{\mu}p_{\mu} \qquad\square
\] erhält.
\subsection{}
Mit \(c=1\) hat \(\sqrt{s}\) die Dimension einer Masse.
Betrachtet man das Inertialsystem in dem der Massenschwerpunkt des Systems in Ruhe ist,
also der Gesamtimpuls \(\vec{P} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = 0\) verschwindet, dann entspricht \[
\sqrt{s} = \sqrt{(E_1+E_2)^2} = E_1+E_2 = \gamma(v_1)m_1+\gamma(v_2)m_2
\] der Gesamtmasse des Systems.
Da, wie vorhin gezeigt wurde, \(s\) invariant ist, nennt man \(\sqrt{s}\) die invariante Masse.
also der Gesamtimpuls \(\vec{P} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = 0\) verschwindet, dann hat man \[
s = (p_1+p_2)^2 = (E_1+E_2)^2 - (\vec{p}_1+\vec{p}_2)^2 = (E_1+E_2)^2
.\] Das bedeutet \[
\sqrt{s} = E_1+E_2 = \gamma(v_1)m_1+\gamma(v_2)m_2
\] ist die Summe der Teilchenenergien.
Handelt es sich nur um ein Teilchen hat man \[
\sqrt{s} = E = \gamma(v)m \overset{v=0}{=} m
.\]
Da, wie vorhin gezeigt wurde, \(s\) invariant ist, nennt man \(\sqrt{s}\) die invariante Masse des Systems.
\subsection{}
Wie bereits gesagt ist im CMS \(\sqrt{s} = \gamma(v_1)m_1+\gamma(v_2)m_2\).
Im Laborsystem hingegen rechnet man \[
s = \sqrt{E_1^2-\vec{p_1}^2} = \sqrt{\gamma(v_1)^2m_1^2 - \gamma(v_1)^2m_1^2 \vec{v}_1^2}
= \gamma(v_1) m_1\sqrt{1-\vec{v}_1^2} = m_1 < \gamma(v_1)m_1
.\] Die Masse des ruhenden Teilchens spielt hier also keine Rolle.
Außerdem wird der \(\gamma\)-Faktor gar nicht ausgenutzt während im CMS der \(\gamma\)-Faktor beider Teilchen eine Rolle spielt.
Wie bereits gesagt ist im CMS \(\sqrt{s} = E_1 + E_2 = \gamma(v_1)m_1+\gamma(v_2)m_2\).
Für \(m_1=m_2=m\) gilt im CMS auch \(v_1=v_2=v\) weshalb man \[
\sqrt{s} = 2 E = 2\gamma(v)m
\] schreiben kann. \\
Im Laborsystem (\(\vec{p}_2 = 0\)) hingegen rechnet man
\begin{align*}
s
&= (E_1+E_2)^2-\vec{p}_1^2 = (\gamma(v_1)m_1+m_2)^2 - \gamma(v_1)^2m_1^2\vec{v}_1^2 \\
&= \gamma(v_1)^2 m_1^2 + \gamma(v_1)m_1m_2 + m_2^2 -\gamma(v_1)^2m_1^2\vec{v}_1^2
,\end{align*}
also für \(m_1=m_2=m\)
\begin{align*}
s
&= \left[\gamma(v_1)^2(1-\vec{v}_1^2) + \gamma(v_1) + 1 \right] m^2
= \left(2+\gamma(v_1)\right)m^2
,\end{align*}
bzw. \[
\sqrt{s} = \sqrt{2+\gamma(v_1)}m
.\] Wegen \(\gamma\geq 1\) ist \(\sqrt{2+\gamma}\geq\sqrt{3}\) und \(2\gamma\geq 4 > \sqrt{3}\).
Im CMS ist \(\sqrt{s}\) also größer.
Außerdem wächst im CMS \(\sqrt{s}\) linear mit \(\gamma\), während im Laborsystem es nur linear mit \(\sqrt{\gamma}\) wächst.
\end{document}
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