Commit df21a665 authored by Stefan Gehr's avatar Stefan Gehr
Browse files

Aufgabe 4

parent ea1ce5d2
Pipeline #51783 passed with stage
in 25 seconds
......@@ -5,3 +5,5 @@ src/*
build
figures
\documentclass{scrartcl}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[style=iso]{datetime2}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[separate-uncertainty=true, locale=DE]{siunitx}
\usepackage{physics}
\usepackage{bbm}
\pdfsuppresswarningpagegroup=1
\title{Lösung EP-5 Übungsblatt}
\subtitle{Übungsblatt 1}
\author{Stefan Gehr}
\renewcommand{\thesubsection}{\thesection.\alph{subsection}}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle
\section*{4. Elektron-Positron Annihilation}
\subsection*{a}
Internet
\subsection*{b}
Im Schwerpunktssystem gilt \(E_e=E_-=E_+\)
und \(\vec{p}_- \cdot \vec{e}_z = \vec{p}_{\parallel} = \vec{p}_+\cdot \vec{e}_z\)
und \(\vec{p}_{-,\perp} =: \vec{p}_{\perp} = -\vec{p}_{+,\perp}\),
also
\begin{align*}
p_-
&=
\begin{pmatrix}
E_e \\
\vec{p}_{\parallel}
+\vec{p}_{\perp}
\end{pmatrix}
\qquad
p_+
=
\begin{pmatrix}
E_e \\
\vec{p}_{\parallel}
-\vec{p}_{\perp}
\end{pmatrix} \\
p_{\mathrm{Ph}}
&=
\begin{pmatrix}
E_{\mathrm{Ph}} \\
\vec{p}_{\mathrm{Ph}}
\end{pmatrix}
.\end{align*}
Wegen Viererimpulserhaltung hat man
\begin{align*}
0
&= p_{\mathrm{Ph}}^2
\overset{!}{=} (p_-+p_+)^2 = p_-^2+2p_-p_++p_+^2
= 2m_e^2 + E_e^2-(\vec{p}_{\parallel}+\vec{p}_{\perp})(\vec{p}_{\parallel}-\vec{p}_{\perp}) \\
&= 2m_e^2 + E_e^2 - \vec{p}_{\parallel}^2 + \vec{p}_{\perp}^2
= 2m_e^2 + \gamma^2m_e^2 + \gamma^2m_e^2(\vec{v}_{\perp}^2-\vec{v}_{\parallel}^2) \\
&= m_e^2\left[2+\gamma^2\left(1+(\vec{v}_{\perp}^2-\vec{v}_{\parallel}^2)\right)\right]
.\end{align*}
Diese Zahl ist am kleinsten, wenn \(\vec{v}_-=\vec{v}_+=\vec{v}_{\parallel}\) und deshalb \(\vec{v}_{\perp}^2=0\).
Dann hat man
\begin{align*}
m_e^2\left[2+\gamma^2 (1-\vec{v}_{\parallel}^2)\right]
&= m_e^2\left[2+\gamma^2 (1-\vec{v}_-^2)\right]
= m_e^2[2+1] = 3m_e^2 > 0
.\end{align*}
Also selbst beim kleinstmöglichen Wert ist sie noch \(>0\) und damit immer \(\neq 0\).
\subsection*{c}
Hat man hingegen zwei Photonen, dann lautet das Impulsquadrat nachher
\begin{align*}
(p_1+p_2)^2
&= p_1^2 + 2p_1p_2 + p_2^2
= 2p_1p_2
= 2\left(E_1E_2-\vec{p}_1\cdot \vec{p}_2\right) \\
&= 2[|\vec{p}_1||\vec{p}_2|-|\vec{p}_1||\vec{p}_2|\cos\theta]
= 2|\vec{p}_1||\vec{p}_2|(1-\cos\theta) \geq 0
,\end{align*}
wobei \(\theta\) der Winkel zwischen beiden Photonengeschwindigkeiten ist.
Es können also, je nach Winkel und Photonenenergien, beliebige Werte \(\geq 0\) erreicht werden weshalb dieser Prozess zumindest in Bezug auf Viererimpulserhaltung möglich sein sollte.
\end{document}
Supports Markdown
0% or .
You are about to add 0 people to the discussion. Proceed with caution.
Finish editing this message first!
Please register or to comment