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\begin{document}
\maketitle
\section*{7, Erhaltungsgrößen}
\subsection*{a}
\paragraph{a,} Nicht möglich wegen Leptonenerhaltung.
\paragraph{b,} Nicht möglich wegen Leptonenerhaltung.
\section*{8, Mesonen und Parität}
\subsection*{a}
\begin{align*}
\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p} \\
\vec{\omega} = \frac{\vec{L}}{\abs{\vec{L}}}\omega \\
\dd{\vec{A}} = \dd{\vec{r}_1} \times \dd{\vec{r}_2} \\
\vec{D} = \vec{m} \times \vec{B} \\
\Phi = \vec{F} \cdot \vec{A} \\
v_1 = \vec{v} \cdot \vec{e}_1
.\end{align*}
\section*{9, Wirkungsquerschnitt in der klassischen Mechanik}
\end{document}
......
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\title{Lösung EP-5 Übungsblatt}
\subtitle{Übungsblatt 4}
\author{Stefan Gehr}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle
\section*{10, Comptonstreuung}
\subsection*{a}
Aus der Viererimpulserhaltung
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
E_{\gamma} \\
E_{\gamma} \hat{e}_{\gamma}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
m_e \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
E_{\gamma}' \\
E_{\gamma}' \hat{e}_{\gamma'}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
\sqrt{m_e^2+p^2} \\
\vec{p}
\end{pmatrix}
\end{align*}
erhält man die reine Energieerhaltung
\begin{align}
E_{\gamma} + m_e
&= E_{\gamma}' + \sqrt{m_e^2+p^2} \nonumber\\
\Leftrightarrow p^2
&= (E_{\gamma}-E_{\gamma}'+m_e)^2 - m_e^2
= E_{\gamma}^2+E_{\gamma}'^2 - 2E_{\gamma}E_{\gamma}'+2E_{\gamma}m_e-2E_{\gamma}'m_e
\label{eq:energy}
\end{align}
und die reine Impulserhaltung
\begin{align}
E_{\gamma} \hat{e}_{\gamma}
&= E_{\gamma}'\hat{e}_{\gamma'} + \vec{p} \nonumber\\
\Rightarrow p^2
&= (E_{\gamma}\hat{e}_{\gamma} - E_{\gamma}'\hat{e}_{\gamma'})^2
= E_{\gamma}^2+E_{\gamma}'^2-2E_{\gamma}E_{\gamma}'\cos\theta
\label{eq:momentum}
,\end{align}
wobei \(\theta = \arccos(\hat{e}_{\gamma}\cdot \hat{e}_{\gamma'})\) der Streuwinkel des Photons ist.
Setzt man \autoref{eq:energy} und \autoref{eq:momentum} gleich, so erhält man
\begin{align*}
-2E_{\gamma}E_{\gamma}' + 2E_{\gamma}m_e - 2E_{\gamma}'m_e
= - 2E_{\gamma}E_{\gamma}'\cos\theta \\
\Leftrightarrow m_e(E_{\gamma} - E_{\gamma}')
= E_{\gamma}E_{\gamma}'(1-\cos\theta) \\
\Leftrightarrow m_eE_{\gamma}
= E_{\gamma}'\left[E_{\gamma}(1-\cos\theta) + m_e\right] \\
E_{\gamma}'
= \frac{m_eE_{\gamma}}{E_{\gamma}(1-\cos\theta)+m_e}
= \frac{E_{\gamma}}{1+ \frac{E_{\gamma}}{m_e}(1-\cos\theta)}
\qquad \square
.\end{align*}
Mit \(E_{\gamma}=\frac{1}{\lambda}\) und \(E_{\gamma}'=\frac{1}{\lambda'}\) erhält man
\begin{align*}
\lambda'
&= \lambda + \frac{1}{m_e}(1-\cos\theta) \\
\Leftrightarrow
\Delta\lambda
&= \lambda_c(1-\cos\theta)
\qquad \square
,\end{align*}
mit \(\lambda_c = \frac{1}{m_e}\).
\subsection*{b}
\end{document}
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