Commit 02b7d775 authored by Stefan Gehr's avatar Stefan Gehr
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src/*
!src/*.tex
!src/*.py
!src/*.bib
build
stages:
- build
compile_pdf:
image: aergus/latex
script:
- make all
stage: build
artifacts:
expire_in: 1 week
paths:
- "build/submission*.pdf"
.PHONY: all clean
submissionsSRC := $(wildcard src/submission*.tex)
submissionsTARGET := $(subst .tex,.pdf,$(subst src/,build/,$(submissionsSRC)))
all: $(submissionsTARGET)
show%: build/submission%.pdf
xdg-open $<
build:
mkdir -p build
build/submission%.pdf: src/submission%.tex build
latexmk -pdf -output-directory=build $<
clean:
rm -rf build
find src/ ! -name src ! -name *.tex ! -name *.bib ! -name *.py -exec rm -rf {} +
# MP-3 Hausaufgaben
Mathe für Physikstudierende 3, Hausaufgabenabgaben
\ No newline at end of file
Mathe für Physikstudierende 3, Hausaufgabenabgaben
## Kompilierte PDFs
[https://gitlab.cs.fau.de/oz73ifuv/mp-3-hausaufgaben/-/jobs/artifacts/master/browse?job=compile_pdf](https://gitlab.cs.fau.de/oz73ifuv/mp-3-hausaufgaben/-/jobs/artifacts/master/browse?job=compile_pdf)
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`make`
\documentclass{scrartcl}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[UKenglish]{babel}
\usepackage[style=iso]{datetime2}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[separate-uncertainty=true]{siunitx}
\usepackage{physics}
\pdfsuppresswarningpagegroup=1
\title{Hausaufgabenabgabe Mathematik für Physikstudierende C}
\subtitle{Blatt 2}
\author{Stefan Gehr\and Jennifer Lorenz}
\date{\today}
%\date{2020-11-08}
\begin{document}
\maketitle
\section*{Aufgabe 4}
\begin{align*}
\dot{x} =
Ax
% =
% \begin{pmatrix}
% a & b \\
% c & d
% \end{pmatrix}
% \begin{pmatrix}
% x_1 \\
% x_2
% \end{pmatrix}
% =
% \begin{pmatrix}
% ax_1+bx_2 \\
% cx_1+dx_2
% \end{pmatrix}
.\end{align*}
%Nach Kriterium aus der ersten Übung leitet man die Funktion bei der Ruhelage \(x=0\) ab mit
%\begin{align*}
% A' =
% \begin{pmatrix}
% a & b \\
% c & d
% \end{pmatrix}
% = A
%.\end{align*}
Die Eigenwerte \(\lambda_{1,2}\) lauten
\begin{align*}
0 &\overset{!}{=}
\begin{vmatrix}
a-\lambda & b \\
c & d-\lambda
\end{vmatrix}
= (a-\lambda)(d-\lambda)-cb
= \lambda^2 -(a+d)\lambda +ad-cb \\
\Leftrightarrow \lambda_{1,2}
&= \frac{a+d}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{a+d}{2}\right)^2-(ad-cb)}
% = \frac{1}{2}\left(a+d\pm\sqrt{(a-d)^2+4cb}\right)
.\end{align*}
Nur, wenn \(ad-cb>0\), also \(\det(A)>0\), dann ist
\begin{align*}
\left| \frac{a+d}{2}\right|
> \left|\Re\left(\sqrt{\left(\frac{a+d}{2}\right)^2-(ad-cb)}\right)\right|
\end{align*}
Wenn also noch zusätzlich \(a+d<0\), also \(\tr(A)<0\) gilt, dann ist immer
\begin{align*}
\Re(\lambda_{1,2}) < 0
,\end{align*}
was unserem gesuchten Kriterium entspricht.
Wenn hingegen \(ad-cb<0\), dann ist die Wurzel immer reell und damit entweder \(\Re(\lambda_1)>0\) oder \(\Re(\lambda_2)>0\), was die Ruhelage nicht asymptotisch stabil macht.
\section*{Aufgabe 5}
\[H(p,q) = \frac{1}{2}p^2+\frac{1}{4}q^2\]
\subsection*{a}
\begin{align*}
\dot{x}
&=
\begin{pmatrix}
\dot{p} \\
\dot{q}
\end{pmatrix}
= \mathbb{J}\nabla H(p,q)
= \mathbb{J}
\begin{pmatrix}
\partial_p H(p,q) \\
\partial_q H(p,q)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
p \\
q^3
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
-q^3 \\
p
\end{pmatrix}
.\end{align*}
Die Ruhelage, bei der also \(\dot{x}=0\) gilt, ist nur bei \(x_0=(p,q)=(0,0)\).
\subsection*{b}
Wir haben die DGL \[
\dot{x} = f(x) =
\begin{pmatrix}
-q^3 \\
p
\end{pmatrix}
.\]
Wir betrachten die totale Ableitung von \(f\) am Punkt \(x_0=0\)
\begin{align*}
Df(x_0) =
\eval{
\begin{pmatrix}
0 & -3q^2 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
}_{x_0}
=
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
.\end{align*}
Die Eigenwerte \(\lambda\)
\begin{align*}
0 \overset{!}{=}
\begin{vmatrix}
-\lambda & 0 \\
1-\lambda & 0
\end{vmatrix}
= 0
\end{align*}
sind beliebig?
\end{document}
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