Commit 3abfc06c authored by ur48iwap's avatar ur48iwap
Browse files

Changes for WS 19

parent a1cc1218
# Braindump BFS SS/19
# Braindump BFS WS 19/20
Hier wird die [_Berechenbarkeit und Formale Sprachen_][bfs] Klausur des
Sommersemesters 2019 in LaTeX rekonstruiert.
Wintersemester 2019 in LaTeX rekonstruiert.
Wegen Corona wurde die Klausur erst im Juni geschrieben (22.06.2020).
Es besteht keine Gewähr hinsichtlich der inhaltlichen Korrektheit dieses
"Braindump"s. Verbesserungen und (konstruktive) Kritik werden gerne
......
\section{Automaten \hfill {\small 10 Punkte}}
\section{Automaten}
\begin{enumerate}[a)]
\item Gegeben sei der folgende nichtdeterminischtische endliche Automat
$A_1$ mit $\Sigma = \left\{ a, b, c \right\}$:
$A_1$ mit $\Sigma = \left\{ 0, 1 \right\}$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[->, shorten >= 1pt, node distance = 2cm, on grid]
\node[state, initial] (q0) {$q_0$}; %
\node[state] (q1) [right of=q0] {$q_1$}; %
\node[state, accepting] (q2) [right of=q1] {$q_2$}; %
\path
(q0) edge [loop above] node {$a \;|\; b$} (q0)
(q0) edge [above, bend left] node {$b$} (q1)
(q1) edge [below, bend left] node {$a$} (q0)
(q1) edge [above] node {$a$} (q2)
(q2) edge [loop above] node {$a \;|\; b \;|\; c$} (q2);
\node[state, initial] (a) {$A$}; %
\node[state] (b) [right of=a] {$B$}; %
\node[state, accepting] (c) [right of=b] {$C$}; %
\path
(a) edge [above] node {0} (b)
(b) edge [loop above] node {$0 \;|\; 1$} (b)
(b) edge [above,bend left] node {0} (c)
(c) edge [below,bend left] node {1} (b);
\end{tikzpicture}
\end{center}
......@@ -23,32 +22,32 @@
Automaten. Zeichnen sie nur die vom Startzusatand erreichbaren
Zustände, diese aber alle. Führen Sie keine "`Vereinfachungen"' durch.
\item Gegeben sei der folgende nichtdeterminischtische endliche Automat
$A_2$ über $\Sigma = \left\{ a, b \right\}$:
\item Gegeben sei nochmal der folgende nichtdeterminischtische endliche Automat
$A_1$ über $\Sigma = \left\{ 0, 1 \right\}$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[->, shorten >= 1pt, node distance = 2cm, on grid]
\node[state, initial] (a) {$A$}; %
\node[state] (b) [right of=a] {$B$}; %
\node[state, accepting] (c) [right of=b] {$C$}; %
\node[state, initial] (a) {$A$}; %
\node[state] (b) [right of=a] {$B$}; %
\node[state, accepting] (c) [right of=b] {$C$}; %
\path
(a) edge [above] node {a} (b)
(b) edge [loop above] node {$a \;|\; b$} (b)
(b) edge [above,bend left] node {a} (c)
(c) edge [below,bend left] node {b} (b);
(a) edge [above] node {0} (b)
(b) edge [loop above] node {$0 \;|\; 1$} (b)
(b) edge [above,bend left] node {0} (c)
(c) edge [below,bend left] node {1} (b);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Stellen Sie zu diesem ein Gleichungssystem auf:
\begin{align*}
\Large
A & = a\,B \\
A & = 0\,B \\
B & = \\
C & =
\end{align*}
\itemßen sie das obige Gleichungssystem und geben sie an welche
Variable den regulären Ausdruck beschreibt.
\itemsen sie das obige Gleichungssystem, sodass für jede Variable ein regulärer Ausdruck entsteht. Welche
Variable beschreibt den regulären Ausdruck?
\end{enumerate}
%%% Local Variables:
......
\section{Halteproblem \hfill {\small 8 Punkte}}
\section{Halteproblem}
\begin{enumerate}[a)]
\item Geben sie die Definition des Halteproblems an:
\item Geben sie die Definition des initialen Halteproblems an:
\begin{align*}
\mathrm{H} := \{
\mathrm{H}_\varepsilon := \{
\end{align*}
\item Beweisen Sie mittels Reduktion, daß die Sprache
\begin{align*}
\mathrm{L}_{2b} & = \{ \left\langle M \right\rangle \;|\; \text{M ist deterministische 1-Band-TM, für die} \\
& \text{(i) mindestens eine Eingabe y mit |y| > 7 und |y| prim existiert, so daß M hält} \\
& \text{(ii) keine Eingabe y mit |y| gerade existiert, so daß M hält} \} \\
& \text{(ii) mindestens eine Eingabe z mit |z| > 7 und |z| prim existiert, so daß M nicht hält} \\
& \}
\end{align*}
nicht entscheidbar ist. Benutzen sie dazu, daß $\mathrm{H}$ nicht
entscheidbar ist. Bedenken Sie, daß \enquote{$\Leftrightarrow$} aus \enquote{$\Leftarrow$} und \enquote{$\Rightarrow$} besteht.
nicht entscheidbar ist. Benutzen sie dazu $\mathrm{H}_\varepsilon$.
\end{enumerate}
%%% Local Variables:
......
\section{Kontextfreie Sprache \hfill {\small 5 Punkte}}
\section{Kontextfreie Sprache}
\begin{enumerate}[a)]
\item Geben Sie die rekursive Definition des CYK-Algorithmus formal an:
......@@ -8,53 +8,40 @@
\end{enumerate}
\item Gegeben Sei die folgende Grammatik
$G = (V, \Sigma, \mathcal{P}, \mathcal{S})$,
$G = (V, \Sigma, \mathcal{P}, S)$,
\begin{align*}
\mathcal{S} &\rightarrow AB \\
A &\rightarrow CD \;|\; CF \\
B &\rightarrow EB \;|\; c \\
C &\rightarrow a \\
D &\rightarrow b \\
E &\rightarrow c \\
F &\rightarrow AD \\
S &\rightarrow AB \mid BC \\
A &\rightarrow BA \mid a \\
B &\rightarrow CC \mid b \\
C &\rightarrow AB \mid a
\end{align*}
Zeichnen Sie den Dyntaxbaum für das Wort $aaabbbcc$ und
markieren sie alle Felder in der Tabelle,
welche Sie benutzt haben mit $\bullet$.
\vspace{1cm}
Vervollständigen Sie die Tabelle. Woher wissen sie das $w \in L(G)$?
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\matrix(M)[
matrix of nodes,
row sep=-\pgflinewidth,
column sep=-\pgflinewidth,
nodes={draw,minimum width=1.5cm,minimum height=1.07868932583cm}
]{
\{C\}&\{C\}&\{C\}&\{D\}&\{D\}&\{D\}&\{B, E\}&\{B, E\}\\
\{\}&\{\}&\{A\}&\{\}&\{\}&\{\}&\{B\}\\
\{\}&\{\}&\{F\}&\{\}&\{\}&\{\}\\
\{\}&\{A\}&\{\}&\{\}&\{\}\\
\{\}&\{F\}&\{\}&\{\}\\
\{A\}&\{\}&\{\}\\
\{S\}&\{\}\\
\{S\}$\bullet$\\
};
\begin{scope}[font=\ttfamily{}]
\node[above=4pt of M-1-1] {a};
\node[above=4pt of M-1-2] {a};
\node[above=4pt of M-1-3] {a};
\node[above=4pt of M-1-4] {b};
\node[above=4pt of M-1-5] {b};
\node[above=4pt of M-1-6] {b};
\node[above=4pt of M-1-7] {c};
\node[above=4pt of M-1-8] {c};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{tikzpicture}
\matrix(M)[
matrix of nodes,
row sep=-\pgflinewidth,
column sep=-\pgflinewidth,
nodes={draw,minimum width=1.5cm,minimum height=1.07868932583cm}
]{
\{A,C\}&\{B\}&\{A,C\}&\{B\}&\{A,C\}\\
\{S\}&\{S,A\}&\{S\}&\{S,A\}\\
\{\}&\{S,C\}&\{\}\\
\{B\}&V(2,5)\\
V(1,5)\\
};
\begin{scope}[font=\ttfamily{}]
\node[above=4pt of M-1-1] {a};
\node[above=4pt of M-1-2] {b};
\node[above=4pt of M-1-3] {a};
\node[above=4pt of M-1-4] {b};
\node[above=4pt of M-1-5] {a};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\item Zeichnen Sie den Syntaxbaum für das Wort $ababa$
\end{enumerate}
%%% Local Variables:
......
......@@ -9,6 +9,7 @@
\usepackage{microtype} %
\usepackage[margin=2.71828182846cm]{geometry} %
\usepackage[shortlabels]{enumitem} %
\usepackage{amssymb} %
\usepackage{amsmath} %
\usepackage{csquotes} %
......@@ -18,9 +19,9 @@
\subject{Klausur Braindump\thanks{\textit{Wie Immer:} Keine Garantie auf
Richtigkeit. Angaben werden zum meisten Teil vereinfacht
wiedergegeben. Fehler und Verbesserungen via Gitlab melden:
\url{https://gitlab.cs.fau.de/jo06coga/bfsdump-ss19}.}} %
\url{https://gitlab.cs.fau.de/ur48iwap/bfsdump-ws19}.}} %
\title{Berechenbarkeit und formale Sprachen} %
\date{\textsc{Sommersemester 2019}} %
\date{\textsc{Wintersemester 2019}} %
\begin{document}
\maketitle{}
......
\section{Reguläre Pumpeigenschaft\hfill {\small 9 Punkte}}
\section{Reguläre Pumpeigenschaft}
\begin{enumerate}[a)]
\item Geben sie die \textit{regulaere
......@@ -8,13 +8,13 @@
\vspace{3.14159265359cm}
\end{quote}
\item Sei $z^{bc}$ das \textit{binary complement} zu $z$. \\\\
Zeigen sie \textbf{durch direkte Anwendung der Definition}, daß die Sprache
\[ L_{3b} = \left\{ \, a \;|\; a \in \left\{ 0, 1 \right\}^{\ast}, \; |a| \geq
4, \; a = a_1a_2...a_{k-1}a_k, \; a_1a_2 \neq a_{k-1}a_k \right\} \] die reguläre Pumpeigenschaft hat. \\\\
\item Zeigen sie \textbf{durch direkte Anwendung der Definition}, daß die Sprache
\[ L_{3b} = \{ \, a \mid a \in \left\{ 0, 1 \right\}^{\ast}, \; |a| = k \geq
4, \; a = a_1a_2...a_{k-1}a_k, \; \exists i \in \mathbb{N}, 1 \le i < k : a_i = a_{i+1} \} \] die reguläre Pumpeigenschaft hat. \\\\
\textit{Kleiner Hinweis}: Vergessen Sie bei der Wahl von $n_L$ nicht den Pumpfall $i = 0$.
\item Zeigen sie \textbf{durch direkte Anwendung der Definition}, daß die Sprache
\item Sei $z^{bc}$ das \textit{binary complement} zu $z$. \\\\
Zeigen sie \textbf{durch direkte Anwendung der Definition}, daß die Sprache
\[ L_{3c} = \left\{ \, zz^{bc} \;|\; z \in \left\{ 0, 1 \right\}^{\ast} \right\} \]
die reguläre Pumpeigenschaft \textbf{nicht} hat.
\end{enumerate}
......
\section{Reduktion \hfill {\small 7 Punkte}}
\section{Reduktion}
\begin{enumerate}[a)]
\item Geben sie die Definition für $\textsc{Clique}$ an:
\[ \textsc{Clique} := \{ \]
\item Geben sie die Definition für $\textsc{VertexCover}$ an:
\[ \textsc{VC} := \{ \]
Falls sie dabei Begriffe wie ``Knotenüberdeckung'' verwenden, müssen diese entsprechend definiert werden.
\item Gegeben ist die Sprache
\[ \mathrm{L}_{3b} = \]
\[ L_{3b} = \{ \, a \mid a \in \left\{ 0, 1 \right\}^{\ast}, \; |a| = k \geq
4, \; a = a_1a_2...a_{k-1}a_k, \; \exists i \in \mathbb{N}, 1 \le i < k : a_i = a_{i+1} \} \]
Zeigen Sie das $\mathrm{L}_{3b} \leq_p \textsc{Clique}$ gilt.
Zeigen Sie das $\mathrm{L}_{3b} \leq_p \textsc{VC}$ gilt.
\item Angenommen $\mathrm{P} = \mathrm{NP}$. Zeigen sie, daß $\textsc{Clique} \leq_p \mathrm{L}_{3b}$
\item Angenommen $\mathrm{P} = \mathrm{NP}$. Zeigen sie, daß $\textsc{VC} \leq_p \mathrm{L}_{3b}$
Begründen Sie unter Verwendung der Definition von NP-Vollständigkeit, daß $\mathrm{L}_{3b}$ dann $\mathrm{NP}$-vollständig ist. Verwenden Sie hierzu die Definition der $\mathrm{NP}$-Vollständigkeit.
\end{enumerate}
......
\section{Wissensfragen \hfill {\small 6 Punkte}}
\section{Wissensfragen}
Zeigen oder wiederlegen Sie die folgenden Aussagen (die jeweiligen Beweise sind äußerst kurz):
Zeigen oder wiederlegen Sie die folgenden Aussagen (die jeweiligen Beweise sind äußerst kurz). Schrieben Sie ``\textbf{Stimmt}'' oder ``\textbf{Stimmt nicht}'':
\begin{enumerate}[a)]
\item Es gibt reguläre Sprachen, die die kontextfreie Pumpeigenschaft nicht haben.
\item Die Sprache $L_1 = \{a^ib^j \mid i,j \in \mathbb{N}, i > 0, j > 1 \}$ hat die kontextfreie Pumpeigenschaft \textbf{nicht}.
\item Die Sprache \begin{align*}
L = \{ (G, U, k) \;|\; & G = (V, E), G \text{ ist ungerichteter Graph}, \\
& U \subseteq G, U \text{ ist vollständiger Teilgraph von G mit } |U| = k\}
L = \{ \langle \Phi, c\rangle \mid \Phi \text{ ist eine KNF, die für die Belegung } c \text{ erfüllt ist}\}
\end{align*} ist in Polynomzeit entscheidbar.
\item $\bar H \leq H$
\item Es existiert ein $L \in NP$ mit $H \leq_p L$
\end{enumerate}
%%% Local Variables:
......
Supports Markdown
0% or .
You are about to add 0 people to the discussion. Proceed with caution.
Finish editing this message first!
Please register or to comment