Changes for WS 19

3abfc06c · ur48iwap · a1cc1218 · 3abfc06c · 3abfc06c · 3abfc06c
Commit 3abfc06c authored Jun 22, 2020 by ur48iwap
--- a/README.md
+++ b/README.md
-# Braindump BFS SS/19
+# Braindump BFS WS 19/20

 Hier wird die [_Berechenbarkeit und Formale Sprachen_][bfs] Klausur des
-Sommersemesters 2019 in LaTeX rekonstruiert.
+Wintersemester 2019 in LaTeX rekonstruiert.
+
+Wegen Corona wurde die Klausur erst im Juni geschrieben (22.06.2020).

 Es besteht keine Gewähr hinsichtlich der inhaltlichen Korrektheit dieses
 "Braindump"s. Verbesserungen und (konstruktive) Kritik werden gerne

--- a/automaten.tex
+++ b/automaten.tex
-\section{Automaten \hfill {\small 10 Punkte}}
+\section{Automaten}

 \begin{enumerate}[a)]
 \item Gegeben sei der folgende nichtdeterminischtische endliche Automat
-  $A_1$ mit $\Sigma = \left\{ a, b, c \right\}$:
+  $A_1$ mit $\Sigma = \left\{ 0, 1 \right\}$:
  \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[->, shorten >= 1pt, node distance = 2cm, on grid]
-      \node[state, initial]           (q0) {$q_0$}; %
-      \node[state]                    (q1) [right of=q0] {$q_1$}; %
-      \node[state, accepting]         (q2) [right of=q1] {$q_2$}; %
-
-      \path
-      (q0) edge [loop above]          node {$a \;|\; b$} (q0)
-      (q0) edge [above, bend left]               node {$b$} (q1)
-      (q1) edge [below, bend left]               node {$a$} (q0)
-      (q1) edge [above]               node {$a$} (q2)
-      (q2) edge [loop above]          node {$a \;|\; b \;|\; c$} (q2);
+    \node[state, initial]    (a) {$A$}; %
+    \node[state]             (b) [right of=a] {$B$}; %
+    \node[state, accepting]  (c) [right of=b] {$C$}; %
+    
+    \path
+    (a) edge [above]            node {0} (b)
+    (b) edge [loop above]       node {$0 \;|\; 1$} (b)
+    (b) edge [above,bend left]  node {0} (c)
+    (c) edge [below,bend left]  node {1} (b);
    \end{tikzpicture}
  \end{center}
  
@@ -23,32 +22,32 @@
  Automaten. Zeichnen sie nur die vom Startzusatand erreichbaren
  Zustände, diese aber alle. Führen Sie keine "`Vereinfachungen"' durch.

-\item Gegeben sei der folgende nichtdeterminischtische endliche Automat
-  $A_2$ über $\Sigma = \left\{ a, b \right\}$:
+\item Gegeben sei nochmal der folgende nichtdeterminischtische endliche Automat
+  $A_1$ über $\Sigma = \left\{ 0, 1 \right\}$:
  \begin{center}
  \begin{tikzpicture}[->, shorten >= 1pt, node distance = 2cm, on grid]
-    \node[state, initial] (a) {$A$}; %
-    \node[state] (b) [right of=a] {$B$}; %
-    \node[state, accepting] (c) [right of=b] {$C$}; %
-
+  \node[state, initial]    (a) {$A$}; %
+    \node[state]             (b) [right of=a] {$B$}; %
+    \node[state, accepting]  (c) [right of=b] {$C$}; %
+    
    \path
-    (a) edge [above] node {a} (b)
-    (b) edge [loop above] node {$a \;|\; b$} (b)
-    (b) edge [above,bend left] node {a} (c)
-    (c) edge [below,bend left] node {b} (b);
+    (a) edge [above]            node {0} (b)
+    (b) edge [loop above]       node {$0 \;|\; 1$} (b)
+    (b) edge [above,bend left]  node {0} (c)
+    (c) edge [below,bend left]  node {1} (b);
  \end{tikzpicture}
  \end{center}

  Stellen Sie zu diesem ein Gleichungssystem auf:
  \begin{align*}
    \Large
-    A & = a\,B \\
+    A & = 0\,B \\
    B & = \\
    C & =
  \end{align*}
  
-\item Lößen sie das obige Gleichungssystem und geben sie an welche
-  Variable den regulären Ausdruck beschreibt. 
+\item Lösen sie das obige Gleichungssystem, sodass für jede Variable ein regulärer Ausdruck entsteht. Welche
+  Variable beschreibt den regulären Ausdruck?
 \end{enumerate}

 %%% Local Variables:

--- a/halteproblem.tex
+++ b/halteproblem.tex
-\section{Halteproblem \hfill {\small 8 Punkte}}
+\section{Halteproblem}

 \begin{enumerate}[a)]
-\item Geben sie die Definition des Halteproblems an:
+\item Geben sie die Definition des initialen Halteproblems an:
  \begin{align*}
-    \mathrm{H} := \{
+    \mathrm{H}_\varepsilon := \{
  \end{align*}
 \item Beweisen Sie mittels Reduktion, daß die Sprache
  \begin{align*}
    \mathrm{L}_{2b} & = \{ \left\langle M \right\rangle \;|\; \text{M ist deterministische 1-Band-TM, für die} \\
      & \text{(i) mindestens eine Eingabe y mit |y| > 7 und |y| prim existiert, so daß M hält} \\
-      & \text{(ii) keine Eingabe y mit |y| gerade existiert, so daß M hält} \} \\
+      & \text{(ii) mindestens eine Eingabe z mit |z| > 7 und |z| prim existiert, so daß M nicht hält} \\
+      & \}
  \end{align*}
-  nicht entscheidbar ist. Benutzen sie dazu, daß $\mathrm{H}$ nicht
-  entscheidbar ist. Bedenken Sie, daß \enquote{$\Leftrightarrow$} aus \enquote{$\Leftarrow$} und \enquote{$\Rightarrow$} besteht.
+  nicht entscheidbar ist. Benutzen sie dazu $\mathrm{H}_\varepsilon$.
 \end{enumerate}

 %%% Local Variables:

--- a/kontextfrei.tex
+++ b/kontextfrei.tex
-\section{Kontextfreie Sprache \hfill {\small 5 Punkte}}
+\section{Kontextfreie Sprache}

 \begin{enumerate}[a)]
 \item Geben Sie die rekursive Definition des CYK-Algorithmus formal an:
@@ -8,53 +8,40 @@
  \end{enumerate}
  
 \item Gegeben Sei die folgende Grammatik
-  $G = (V, \Sigma, \mathcal{P}, \mathcal{S})$,
+  $G = (V, \Sigma, \mathcal{P}, S)$,
  \begin{align*}
-    \mathcal{S} &\rightarrow AB \\
-    A &\rightarrow CD \;|\; CF \\
-    B &\rightarrow EB \;|\; c \\
-    C &\rightarrow a \\
-    D &\rightarrow b \\
-    E &\rightarrow c \\
-    F &\rightarrow AD \\
+    S &\rightarrow AB \mid BC \\
+    A &\rightarrow BA \mid a \\
+    B &\rightarrow CC \mid b \\
+    C &\rightarrow AB \mid a
  \end{align*}

-  Zeichnen Sie den Dyntaxbaum für das Wort $aaabbbcc$ und
-  markieren sie alle Felder in der Tabelle,
-  welche Sie benutzt haben mit $\bullet$.
-
-  \vspace{1cm}
+  Vervollständigen Sie die Tabelle. Woher wissen sie das $w \in L(G)$?
  
-  \begin{center}
-    \begin{tikzpicture}
-      \matrix(M)[
-      matrix of nodes,
-      row sep=-\pgflinewidth,
-      column sep=-\pgflinewidth,
-      nodes={draw,minimum width=1.5cm,minimum height=1.07868932583cm}
-      ]{
-        \{C\}&\{C\}&\{C\}&\{D\}&\{D\}&\{D\}&\{B, E\}&\{B, E\}\\
-        \{\}&\{\}&\{A\}&\{\}&\{\}&\{\}&\{B\}\\
-        \{\}&\{\}&\{F\}&\{\}&\{\}&\{\}\\
-        \{\}&\{A\}&\{\}&\{\}&\{\}\\
-        \{\}&\{F\}&\{\}&\{\}\\
-        \{A\}&\{\}&\{\}\\
-        \{S\}&\{\}\\
-        \{S\}$\bullet$\\
-      };
-      
-      \begin{scope}[font=\ttfamily{}]
-        \node[above=4pt of M-1-1] {a};
-        \node[above=4pt of M-1-2] {a};
-        \node[above=4pt of M-1-3] {a};
-        \node[above=4pt of M-1-4] {b};
-        \node[above=4pt of M-1-5] {b};
-        \node[above=4pt of M-1-6] {b};
-        \node[above=4pt of M-1-7] {c};
-        \node[above=4pt of M-1-8] {c};
-      \end{scope}         
-    \end{tikzpicture}
-  \end{center}
+  \begin{tikzpicture}
+    \matrix(M)[
+    matrix of nodes,
+    row sep=-\pgflinewidth,
+    column sep=-\pgflinewidth,
+    nodes={draw,minimum width=1.5cm,minimum height=1.07868932583cm}
+    ]{
+      \{A,C\}&\{B\}&\{A,C\}&\{B\}&\{A,C\}\\
+      \{S\}&\{S,A\}&\{S\}&\{S,A\}\\
+      \{\}&\{S,C\}&\{\}\\
+      \{B\}&V(2,5)\\
+      V(1,5)\\
+    };
+    
+    \begin{scope}[font=\ttfamily{}]
+      \node[above=4pt of M-1-1] {a};
+      \node[above=4pt of M-1-2] {b};
+      \node[above=4pt of M-1-3] {a};
+      \node[above=4pt of M-1-4] {b};
+      \node[above=4pt of M-1-5] {a};
+    \end{scope}         
+  \end{tikzpicture}
+
+\item Zeichnen Sie den Syntaxbaum für das Wort $ababa$
 \end{enumerate}

 %%% Local Variables:

--- a/master.tex
+++ b/master.tex
@@ -9,6 +9,7 @@
 \usepackage{microtype} %
 \usepackage[margin=2.71828182846cm]{geometry} %
 \usepackage[shortlabels]{enumitem} %
+\usepackage{amssymb} %
 \usepackage{amsmath} %
 \usepackage{csquotes} %

@@ -18,9 +19,9 @@
 \subject{Klausur Braindump\thanks{\textit{Wie Immer:} Keine Garantie auf
    Richtigkeit. Angaben werden zum meisten Teil vereinfacht
    wiedergegeben. Fehler und Verbesserungen via Gitlab melden:
-    \url{https://gitlab.cs.fau.de/jo06coga/bfsdump-ss19}.}} %
+    \url{https://gitlab.cs.fau.de/ur48iwap/bfsdump-ws19}.}} %
 \title{Berechenbarkeit und formale Sprachen} %
-\date{\textsc{Sommersemester 2019}} %
+\date{\textsc{Wintersemester 2019}} %

 \begin{document}
 \maketitle{}

--- a/pumpingeigenschaft.tex
+++ b/pumpingeigenschaft.tex
-\section{Reguläre Pumpeigenschaft\hfill {\small 9 Punkte}}
+\section{Reguläre Pumpeigenschaft}

 \begin{enumerate}[a)]
 \item Geben sie die \textit{regulaere
@@ -8,13 +8,13 @@
    \vspace{3.14159265359cm}
  \end{quote}

-\item Sei $z^{bc}$ das \textit{binary complement} zu $z$. \\\\
-  Zeigen sie \textbf{durch direkte Anwendung der Definition}, daß die Sprache
-  \[ L_{3b} = \left\{ \, a \;|\; a \in \left\{ 0, 1 \right\}^{\ast}, \; |a| \geq
-      4, \; a = a_1a_2...a_{k-1}a_k, \; a_1a_2 \neq a_{k-1}a_k  \right\} \] die reguläre Pumpeigenschaft hat. \\\\
+\item  Zeigen sie \textbf{durch direkte Anwendung der Definition}, daß die Sprache
+  \[ L_{3b} = \{ \, a \mid a \in \left\{ 0, 1 \right\}^{\ast}, \; |a| = k \geq
+      4, \; a = a_1a_2...a_{k-1}a_k, \; \exists i \in \mathbb{N}, 1 \le i < k : a_i = a_{i+1} \} \] die reguläre Pumpeigenschaft hat. \\\\
  \textit{Kleiner Hinweis}: Vergessen Sie bei der Wahl von $n_L$ nicht den Pumpfall $i = 0$.

-\item Zeigen sie \textbf{durch direkte Anwendung der Definition}, daß die Sprache
+\item Sei $z^{bc}$ das \textit{binary complement} zu $z$. \\\\
+Zeigen sie \textbf{durch direkte Anwendung der Definition}, daß die Sprache
  \[ L_{3c} = \left\{ \, zz^{bc} \;|\; z \in \left\{ 0, 1 \right\}^{\ast} \right\} \]
  die reguläre Pumpeigenschaft \textbf{nicht} hat.
 \end{enumerate}

--- a/redukution.tex
+++ b/redukution.tex
-\section{Reduktion \hfill {\small 7 Punkte}}
+\section{Reduktion}

 \begin{enumerate}[a)]
-\item Geben sie die Definition für $\textsc{Clique}$ an:
-  \[ \textsc{Clique} := \{ \]
+\item Geben sie die Definition für $\textsc{VertexCover}$ an:
+  \[ \textsc{VC} := \{ \]
+  
+  Falls sie dabei Begriffe wie ``Knotenüberdeckung'' verwenden, müssen diese entsprechend definiert werden.
  
 \item Gegeben ist die Sprache
-  \[ \mathrm{L}_{3b} = \]
+  \[ L_{3b} = \{ \, a \mid a \in \left\{ 0, 1 \right\}^{\ast}, \; |a| = k \geq
+  4, \; a = a_1a_2...a_{k-1}a_k, \; \exists i \in \mathbb{N}, 1 \le i < k : a_i = a_{i+1} \} \]

-  Zeigen Sie das $\mathrm{L}_{3b} \leq_p \textsc{Clique}$ gilt.
+  Zeigen Sie das $\mathrm{L}_{3b} \leq_p \textsc{VC}$ gilt.
  
-\item Angenommen $\mathrm{P} = \mathrm{NP}$. Zeigen sie, daß $\textsc{Clique} \leq_p \mathrm{L}_{3b}$
+\item Angenommen $\mathrm{P} = \mathrm{NP}$. Zeigen sie, daß $\textsc{VC} \leq_p \mathrm{L}_{3b}$

  Begründen Sie unter Verwendung der Definition von NP-Vollständigkeit, daß $\mathrm{L}_{3b}$ dann $\mathrm{NP}$-vollständig ist. Verwenden Sie hierzu die Definition der $\mathrm{NP}$-Vollständigkeit.
 \end{enumerate}

--- a/wissensfragen.tex
+++ b/wissensfragen.tex
-\section{Wissensfragen \hfill {\small 6 Punkte}}
+\section{Wissensfragen}

-Zeigen oder wiederlegen Sie die folgenden Aussagen (die jeweiligen Beweise sind äußerst kurz):
+Zeigen oder wiederlegen Sie die folgenden Aussagen (die jeweiligen Beweise sind äußerst kurz). Schrieben Sie ``\textbf{Stimmt}'' oder ``\textbf{Stimmt nicht}'':

 \begin{enumerate}[a)]
-\item Es gibt reguläre Sprachen, die die kontextfreie Pumpeigenschaft nicht haben.
+\item Die Sprache $L_1 = \{a^ib^j \mid i,j \in \mathbb{N}, i > 0, j > 1 \}$ hat die kontextfreie Pumpeigenschaft \textbf{nicht}.
 \item Die Sprache \begin{align*}
-    L = \{ (G, U, k) \;|\; & G = (V, E), G \text{ ist ungerichteter Graph}, \\
-    & U \subseteq G, U \text{ ist vollständiger Teilgraph von G mit } |U| = k\}
+    L = \{ \langle \Phi, c\rangle \mid \Phi \text{ ist eine KNF, die für die Belegung } c \text{ erfüllt ist}\}
  \end{align*} ist in Polynomzeit entscheidbar.
-\item $\bar H \leq H$
+\item Es existiert ein $L \in NP$ mit $H \leq_p L$
 \end{enumerate}

 %%% Local Variables: