diff --git a/kapitel/ameisen.tex b/kapitel/ameisen.tex
index 22219903b7b5239467a9beca28dc1288f5f32e15..260bf7807b2ef52a0266d10622f384280bed86e0 100644
--- a/kapitel/ameisen.tex
+++ b/kapitel/ameisen.tex
@@ -27,7 +27,7 @@ Den k"urzesten Weg zu finden ist die emergente Eigenschaft.
\frac{\tau_{ij}(t)^\alpha \cdot \eta^\beta_{ij}}{\sum\limits_{l \in \text{allowed}_k(t)} \tau_{il}(t)^\alpha \cdot \eta^\beta_{il}} & \text{ falls }j \in \text{allowed}_k(t) \\ % Bild IZ
0 & \text{ sonst}
\end{cases} \\
- \eta_{ij} &= \text{ Sichtbarkeit, oft } \eta_{ij} = \frac 1{d_{ij}}. \text{ Heuristischer \emph{problemspezifischer} Wert.}
+ \eta_{ij} &= \text{ Sichtbarkeit, oft } \eta_{ij} = 1/{d_{ij}}. \text{ Heuristischer \emph{problemspezifischer} Wert.}
\end{align*}
\footnotetext{verwendet man heuzutage nicht mehr}
Die k"unstlichen Ameisen haben ein Ged"achtnis, sie k"onnen sich ihren aktuellen Weg und die beste bislang gefundene Rundreise. Au{\ss}erdem sind sie
@@ -47,13 +47,13 @@ $Q_1$ ist eine konstante, die ausdr"uckt, wie viel Pheromon von einer Ameise pro
\emph{Ant-quantity:} k"urzere Kanten werden bevorzugt
\[
\Delta\tau^{(k)}_{ij} (t, t+1) = \begin{cases}
- \frac{Q_2}{d_{ij}} & \text{Ameise $k$ geht von $i$ nach $j$ zwischen $t$ und $t+1$} \\
+ {Q_1}/{d_{ij}} & \text{Ameise $k$ geht von $i$ nach $j$ zwischen $t$ und $t+1$} \\
0 & \text{sonst}
\end{cases}
\]
Um den \glqq Explorationseffekt\grqq\ zu unterst"utzen kann man zus"atzlich einen Schwellwert $Q$ einf"uhren,
-anhanddessen mithilfe eines von Ameise $k$ auf Punkt $i$ gew"urfelten Wertes \emph{rnd} bestimmt wird,
+anhanddessen, mithilfe eines von Ameise $k$, auf Punkt $i$, gew"urfelten Wertes \emph{rnd}, bestimmt wird,
ob die Ameise $p_{ij}^{(k)}(t)$ zum Punktwechsel verwendet, oder einen anderen Punkt besucht. \\\\
%
\begin{ttfamily}
@@ -69,7 +69,7 @@ Problem: nach $n$ Iterationen hat jede Ameise eine Tour, die \glqq Beste\grqq{}
\begin{align*}
L^{(k)} &= \text{ L"ange der bislang besten Tour der Ameise }k \\
\Delta\tau^{(k)}_{ij} (t, t+n) &= \begin{cases}
- \frac{Q_2}{L^{(k)}} & \text{falls Ameise $k$ auf ihrer Tour $\{i,j\}$ benutzt} \\
+ \frac{Q_1}{L^{(k)}} & \text{falls Ameise $k$ auf ihrer Tour $\{i,j\}$ benutzt} \\
0 & \text{sonst}
\end{cases}
\end{align*}
diff --git a/kapitel/ea.tex b/kapitel/ea.tex
index 866c67af70e08f8f9f356e696dcffc7fb625ab6e..2e43e23ee8fc10a9d2937eb7cbb73f1a33ba81fa 100644
--- a/kapitel/ea.tex
+++ b/kapitel/ea.tex
@@ -1,6 +1,6 @@
\section{Evolution"are Algorithmen}
\begin{itemize}
- \setlength\itemsep{0.5em}
+ \setlength\itemsep{0.1em}
\item \emph{Population} von \emph{Individuen}
\item Reproduktion durch \emph{Vererbung} und \emph{Mutation} (neue Individuen aus den alten erzeugen)
\item Selektionsprinzip
@@ -24,7 +24,7 @@ Populationsgr"o"se $\mu$, Zahl der Nachkommen $\lambda$ und Zielfunktion $F$\\
\STATE $P''$ := erschaffe durch \emph{Rekombination} $\lambda$ Nachkommen aus $P'$
\STATE $P'''$ := mutiere die Nachkommen in $P''$ mittels \emph{Mutationsoperator}\footnotemark
\STATE bewerte die Nachkommen mit Eval$_F(P''')$
- \STATE $P(t+1)$ := selektiere $\mu$ Individuen aus $P(t) \cup P'''$ mit Selektionsoperator\footnotemark
+ \STATE $P$(t+1) := selektiere $\mu$ Individuen aus $P$(t) $\cup$ $P'''$ mit Selektionsoperator\footnotemark
\STATE t := t+1
\ENDWHILE
\STATE gib bestes Idividuum aus
@@ -101,43 +101,50 @@ Hillclimber, d.h. die Folge $\pi_0, \pi_1,..$ wird nie schlechter. \\\\
%
\emph{Satz}: Die erwartete Anzahl an Auswertungen $f(\pi)$ des (1 + 1) EA f"ur $f \in \{\text{INV},\text{HAM}, \text{LAS} \}$ ist mindestens $\Omega(n^2)$. \\\\
%
-\emph{Beweis}: Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gew"ahlte Permutation sortiert ist, ist $\frac 1{n!}$. \\
+\emph{Beweis}: Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gew"ahlte Permutation sortiert ist, ist $1/{n!}$.
Die Permutation ist sortiert, wenn im letzten Schritt der Mutation die sortierte Folge erzeugt wird.
Es gibt h"ochstens \emph{zwei} Paare, die das tun, und das je m"oglicher Operation.
Erfolgswahrscheinlichkeit: $\frac 12 \cdot \frac{2}{n(n-1)} \cdot 2$ \\
$\Rightarrow \text{ E}[t] \ge \frac 12 n(n-1) = \Omega(n^2) \qquad \square$ \\\\
%
-\emph{Satz}: Die erwartete Anzahl an Auswertungen $f(\pi)$ des (1+1) EA f"ur $f \in \{\text{INV},\text{HAM}\}$ ist h"ochstens $\mathcal O(n^2 \log n)$.
+\emph{Satz}: Die erwartete Anzahl an Auswertungen $f(\pi)$ des (1+1) EA f"ur $f \in \{\text{INV},\text{HAM},\text{LAS}\}$ ist h"ochstens $\mathcal O(n^2 \log n)$.
\paragraph{Beweis f"ur f = INV} \ \\\\
Sei $(i,j)$ ein Indexpaar mit $i < j$ und $\pi(i) > \pi(j)$ \\
-Sei $a$ die Anzahl der Schl"ussel an den Positionen $i+1, \dots, j-1$, die kleiner als $\pi(j)$ sind. \\
-Sei $b$ die Anzahl der Schl"ussel an den Positionen $i+1, \dots, j-1$, die zwischen $\pi(j)$ und $\pi(i)$ liegen. \\
-Sei $c$ die Anzahl der Schl"ussel an den Positionen $i+1, \dots, j-1$, die gr"o\ss er als $\pi(i)$ sind. \\
+Sei $a$ die Anzahl der Schl"ussel an den Positionen $i+1, \ldots, j-1$, die kleiner als $\pi(j)$ sind. \\
+Sei $b$ die Anzahl der Schl"ussel an den Positionen $i+1, \ldots, j-1$, die zwischen $\pi(j)$ und $\pi(i)$ liegen. \\
+Sei $c$ die Anzahl der Schl"ussel an den Positionen $i+1, \ldots, j-1$, die gr"o\ss er als $\pi(i)$ sind.
%
+\paragraph{Beispiel}
+$(\pi(i) := 7~\underbrace{9~8~10}_{c=3}~\underbrace{6}_{b=1}~\underbrace{3~4}_{a=2}~5 =: \pi(j))$\\
\begin{addmargin}{0.5cm}
- \texttt{exch}(i,j) vergr"o\ss ert die Zielfunktion um $2b+1$ \\
- \texttt{jump}(i,j) "andert die Zielfunktion um $a+b-c+1$ \\
- \texttt{jump}(j,i) "andert die Zielfunktion um $-a+b+c+1$
+ \texttt{exch}(i,j) vergr"o\ss ert den Wert der Zielfunktion um $2b+1$ \\
+ \texttt{jump}(i,j) "andert den Wert um $a+b-c+1$ \\
+ \texttt{jump}(j,i) "andert den Wert um $-a+b+c+1$
\begin{addmargin}{0.5cm}
$\to$ mindestens einer der Werte \texttt{jump}(i,j), \texttt{jump}(j,i) ist positiv.
\end{addmargin}
\end{addmargin} \ \\
%
-Mindestens um 1 wird die Zielfunktion verbessert, falls genau \emph{eine} lokale Operation erfolgreich ausgef"uhrt wird, [genau eine lokale Operation hei\ss t S=0; $Pr[S=0] = \frac 1e$] und diese Operation ist \texttt{exch}(i,j) oder \texttt{exch}(j,i) [$\frac{2}{n(n-1)} \cdot \frac 12$ Wahrscheinlichkeit] oder die Operation ist die \grqq gute\grqq{} von \texttt{jump}(i,j) und \texttt{jump}(j,i) [Wahrscheinlichkeit $\frac 2{2n(n-1)} \cdot \frac 12$]
+Mindestens um 1 wird der Wert verbessert, falls genau \emph{eine} lokale Operation ausgef"uhrt wird,
+[bei $S=0 \text{ mit Wahrscheinlichkeit } \frac 1e$] \emph{und} diese Operation ist \texttt{exch}$(i,j)$ oder \texttt{exch}$(j,i)$
+$\left[ \frac 12 \cdot \frac{1}{\binom n2} = \frac{2}{n(n-1)} \cdot \frac 12 = \frac{1}{n(n-1)}\right]$ oder
+die Operation ist die \glqq gute\grqq{} von \texttt{jump}$(i,j)$ und
+\texttt{jump}$(j,i)$ $\left[ \frac{1}{2} \cdot \frac 12 \cdot \frac {1}{ \binom n2} =\frac{}{2 \cdot n(n-1)} \right]$
-Ist die Anzahl der falschherum stehenden Paare $m$, so ist die Wahrscheinlichkeit, den Wert der Zielfunktion zu verbessern mindestens
+Ist die Anzahl der falschherum stehenden Paare $m$ (das hei{\ss}t $m$ \emph{Inversionen}),
+so ist die Wahrscheinlichkeit, den Wert der Zielfunktion zu verbessern mindestens
\[\frac 1e \cdot m \cdot \left(\frac 1{n(n-1)} + \frac 1{2n(n-1)}\right) = \frac {3m}{2n(n-1)e}\]
-$\Rightarrow \frac 23 \cdot \frac 1m \cdot e \cdot n(n-1)$ erwartete Schritte, um den Wert der Zielfunktion zu verbessern. \\
-$\Rightarrow E[t] \le \sum\limits_{m=1}^{\frac 12 n(n-1)} \frac 23 \cdot \frac 1m \cdot e \cdot n(n-1) \le \frac 23 \cdot e \cdot n^2 \cdot \underbrace{\sum\limits_{m=1}^{\frac 12 n(n-1)} \frac 1m}_{\text{Harmonische Reihe}, \le \ln(\frac 12 n(n-1)) + 1} = \mathcal O( n^2 \cdot \log n)$
+$\Rightarrow \frac 23 \cdot \frac 1m \cdot e \cdot n(n-1)$ erwartete Schritte, um den Wert um 1 zu verbessern. \\
+$\Rightarrow \text E[t] \le \sum\limits_{m=1}^{\frac 12 n(n-1)} \frac 23 \cdot \frac 1m \cdot e \cdot n(n-1) \le \frac 23 \cdot e \cdot n^2 \cdot \underbrace{\sum\limits_{m=1}^{\frac 12 n(n-1)} \frac 1m}_{\text{Harmonische Reihe}, \le \ln(\frac 12 n(n-1)) + 1} = \mathcal O( n^2 \cdot \log n)$
%
\paragraph{Beweis f"ur f = HAM} \ \\\\
%
-Ist $HAM(\pi_t) = k$, stehen $n-k$ Schl"ussel an falschen Stellen.\\
+Ist $\texttt{HAM}(\pi_t) = k$, stehen $n-k$ Schl"ussel an falschen Stellen.\\
Ist der Schl"ussel $i$ an Position $j$ ($\pi_t(j) = i$), $i \neq j$ ist auch der Schl"ussel an Position $i$ an der falschen Stelle. \texttt{exch}(i,j) und \texttt{exch}(j,i) verbessen den Wert der Zielfunktion um mindestens 1. \\
$\Rightarrow$ es gibt mindestens $n-k$ \glqq gute\grqq{} \texttt{exch}-Operationen. \\
-$\Rightarrow$ Rechnung wie gerade eben: $E[t] \ge 2 en^2 \cdot \sum\limits_{k=1}^n \frac 1k = \mathcal O(n^2 \log n) \qquad \square$
+$\Rightarrow$ Rechnung wie gerade eben: $E[t] \leq 2 en^2 \cdot \sum\limits_{k=1}^n \frac 1k = \mathcal O(n^2 \log n) \qquad \square$
%
\paragraph{Beweis f"ur f = LAS} \ \\\\
%
@@ -161,7 +168,7 @@ $\Rightarrow$ Wahrscheinlichkeit f"ur Verbesserung: $\frac {n-k}{2en(n-1)}$ \\
$\Rightarrow$ Erwartete Wartezeit f"ur n"achste Verbesserung: $\frac {2en(n-1)}{n-k}$ \\
$\Rightarrow$ Erwartete Gesamtlaufzeit: $\sum\limits_{k=1}^{n-1} \frac {2en(n-1)}{n-k} = 2en(n-1) \sum\limits_{k=1}^{n-1} \frac 1l = \mathcal O(n^2 \log n)$
-\subsubsection{Selektionsverfahren}
+\subsection{Selektionsverfahren}
\paragraph{Turnierselektion}
\begin{itemize}
diff --git a/kapitel/peer2peer.tex b/kapitel/peer2peer.tex
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..03d03a80c02705ab264e2e9876ce224806caf75c
--- /dev/null
+++ b/kapitel/peer2peer.tex
@@ -0,0 +1,67 @@
+\section{Peer-to-Peer-Netzwerke}
+
+\paragraph{Historie}
+\begin{itemize}
+ \item 2004 besteht ein gro"steil des Traffics aus Filesharing.
+ \item Erstes derartiges Netzwerk: \emph{Napster}
+ \begin{itemize}
+ \item Ein zentralen Server der "uber alle Clients und alle Daten bescheid wei"s
+ \item Client schickt Anfrage an Server, Clients haben die Daten
+ \item Daten"ubertragung geht direkt "uber Clients
+ \item Skaliert schlecht, fehleranf"allig
+ \item Damit eigentlich kein P2P Netz, au"ser dem eigentlichem Download
+ \end{itemize}
+ \item \emph{Gnutella} soll Probleme von Napster l"osen und funktioniert ohne zentrale Strukturen
+ \begin{itemize}
+ \item Ist paretoverteilt: von $2$ bis $n$, dann haben $2$ ingesamt $\frac{1}{2}$ (H"alfte)
+ Anteil, die $n$ dann $\frac{1}{n}$\footnote{Die reichsten 10\% haben 90\% des Geldes}
+ \item Anfragen haben immer ein TTL, damit sie nicht zu lokal bleiben (\glqq 3 ist ein vern"uftiger Wert\grqq)
+ \item Flooding: Netzwerk wird mit Anfragen geflutet, ist zum gro"sen Teil nur noch damit anstelle von
+ Download besch"aftigt (Asynchronit"at: Download bereits stattgefunden, es kommen trotzdem noch Antworten
+ von anderen zur"uck)
+ \item Small world hypothesis: Experiment aus den USA bei denen Pakete nicht "uber die Post "uber die ganze
+ Welt verschickt werden sollten, mit der Anweisung \glqq gib das jemanden den du kennst \glqq. Die meisten Pakete
+ kamen innerhalb vom $5$ Hops an (daher TTL von $3$)
+ \item Verbesserungen: Random walks (Zeit vs. Anzahl der Anfragen) und Caching (entlang den Pfaden vorherige
+ Antworten speichern. Ackermann: eine L"osung f"ur passive Replikate)
+ \item Weiteres Problem: keine Struktur in der Datenablage (eine \glqq Nein \grqq Antwort muss nicht
+ unbedingt stimmen, wurde das ganze Netz durchsucht?)
+ \end{itemize}
+\end{itemize}
+
+\paragraph{DHT}
+\begin{itemize}
+ \item Wenn nur die Daten gehasht werden, gibt es Probleme wenn Peers hinzukommen oder gehen
+ \item Daher auch noch die Peers hashen
+\end{itemize}
+
+\paragraph{Gradoptimierte Netzwerke}
+\begin{itemize}
+ \item M"oglich: konstanter Grad, log. Durchmesser. Bsp: $n = 15$ Knoten, Durchmesser: $6 =2(\log(n+1)-1)$
+ \item Problem mit B"aumen: es gibt Hotspots die nicht ausfallen dr"urfen
+ \item Besser \emph{Butterfly-Graph} was hotspots angeht, daf"ur schlechter wenn sich Peers spontan anmelden und abmelden wollen,
+ da immer eine bestimmte Anzahl gebraucht wird um eine neue Schicht erstellen zu k"onnen (Problem der Skalierbarkeit)
+ \item \emph{Viceroy} (eine Schmetterlingsart)
+ \item Besser als $\log$ Durchmesser kann man mit konstantem Grad nicht werden
+ \item Bei CAN war Durchmesser $\mathcal{O}(n^{\frac{1}{2}})$, Viceroy kann das in $\log(n)$
+ \item Wrap-around-Kanten: die untersten Knoten gibt es eigentlich nicht, es sind die selben wie oben (so aber leichter zu
+ zeichnen). Dadurch hat jeder Knoten Grad $4$ (Beispiel siehe Folien)
+ \item Konstruktion Butterfly-Graphen: siehe Bild
+ \begin{itemize}
+ \item Jeder Knoten hat einer Adresse, $i$ f"ur das Level und ein bitstring der die Spalte angibt
+ \item Erst mal alle vertical verbinden (mit wrap around)
+ \item Danach im bitstring das $i$te Bit flippen und mit dem Knoten im n"achsten level verbinden
+ \end{itemize}
+ \item Wenn man von \texttt{000} nach \texttt{111} will, muss man nach und nach die Bits korrigieren, d.h.
+ \texttt{000}$\to$\texttt{100}$\to$\texttt{110}$\to$\texttt{111} ("uber Kreuzkanten)
+ \item Aufbau Viceroy:
+ \begin{itemize}
+ \item R"uckgrad: levels (Knoten die in Kreisen zusammengeschlossen sind)
+ \item Neuer Knoten w"ahlt erstmal ein level
+ \item Ein Ring der alle Knoten verbindet
+ \item Butterfly Netzwerk zwischen den levels
+ \item Falls ein Knoten in einem level nicht gefunden wird, dann kommen die Kreise ins Spiel
+ (da nochmal Datenstruktur dr"uber packen die daf"ur sorgt, dass immer ein weiteres Element gefunden
+ wird)
+ \end{itemize}
+\end{itemize}
diff --git a/kapitel/websuche_datamining.tex b/kapitel/websuche_datamining.tex
index 5c192512eb20d71908dab9fe281266fcd5d74d85..845a2940e6cff46461a9aa51bee994a3958ed5a6 100644
--- a/kapitel/websuche_datamining.tex
+++ b/kapitel/websuche_datamining.tex
@@ -42,14 +42,14 @@ Gib allen Seiten, die den Suchstring $\sigma$ enthalten aus, und die, auf die am
\item[$\to$] popul"are Seiten, die h"aufig verlinkt, werden zu Autorit"aten zu allen Themen
\item[$\to$] \glqq gute \grqq Seiten brauchen $\sigma$ ja gar nicht zu enthalten (audi.de--Problematik)
\end{itemize}
-Hier f"ur uns: es gibt \underline{Autorit"aten} und die, die sie kennen. (Autorit"aten f"ur Autorit"aten, \underline{Hubs}
+Hier f"ur uns: es gibt \emph{Autorit"aten} und die, die sie kennen. (Autorit"aten f"ur Autorit"aten, \emph{Hubs}
\footnote{Nabe, wie das Zentrum von einem Rad mit vielen Speichen, z.B. beim Fliegen erst mal zu einem gro"sen Flughafen,
vor dort aus weiter}) \\
\subsubsection{HITS-Algorithmus}
Wie identifiziert man \emph{Autorit"aten} und \emph{Hubs}? (bzw. wie misst man diese?)
-\paragraph{Achtung:} \underline{Clustering} ist etwas anderes, z.B. die Trennung von Seiten, die z.B. \glqq echte Schl"ussel\grqq{} meinen von denen,
+\paragraph{Achtung:} \emph{Clustering} ist etwas anderes, z.B. die Trennung von Seiten, die z.B. \glqq echte Schl"ussel\grqq{} meinen von denen,
die Kryptographie meinen, oder Fenster von Windows (vor allem im Englischen) \\
Vorstellung des HITS\footnote{Hypertext-Induced Topic Search}-Algorithmus von Kleinberg \\
@@ -77,17 +77,18 @@ auf sie zeigt.
\begin{algorithmic}[1]
\STATE $S_\sigma$ := $R_\sigma$
\FORALL{$p \in R_\sigma$}
- \STATE $S_\sigma$ := $S_\sigma \cup \Gamma^{+} (p)$\footnote{Menge der Nachbarseiten von $p$ (Seiten, auf die $p$ zeigt), $\Gamma^-(p) sind
- Seiten, die auf $p$ zeigen$}
+ \STATE $S_\sigma$ := $S_\sigma \cup \Gamma^{+} (p)$\footnotemark
\IF{$ \lvert \Gamma^-(p) \rvert \leq d$}
\STATE $S_\sigma := S_\sigma \cup \Gamma^-(p)$
\ELSE
- \STATE $S_\sigma := S_\sigma \cup d$ (zufaellig aus $\Gamma^-(p)$ ausgewaehlte Seiten\footnote{nennt sich Sampling})
+ \STATE $S_\sigma := S_\sigma \cup d$ (zufaellig aus $\Gamma^-(p)$ ausgewaehlte Seiten\footnotemark)
\ENDIF
\ENDFOR
\end{algorithmic}
\end{ttfamily}
\end{algorithm}
+\footnotetext{Menge der Nachbarseiten von $p$ (Seiten, auf die $p$ zeigt), $\Gamma^-(p) sind Seiten, die auf $p$ zeigen$}
+\footnotetext{nennt sich Sampling}
(Kleinbergs Experimente von 1999: $t = 200,\; d = 500$, $S_\sigma \approx 1000$ bis $5000$ Seiten)
@@ -95,28 +96,28 @@ auf sie zeigt.
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{0.1em}
\item l"osche interne (bzgl. Domain) Links (Navigationslinks)
- \item erlaube \underline{aus} einer Domain nur $m$ (ca. $4$ bis $8$) Links \underline{auf} eine Seite
+ \item erlaube \emph{aus} einer Domain nur $m$ (ca. $4$ bis $8$) Links \emph{auf} eine Seite
(wegen: \glqq diese Seite wurde erstellt von...\grqq)
\end{itemize}
\begin{multicols}{2}
\input{imgs/2_2_hits_result.tex}
\vfill
\columnbreak
- Nun: Unterscheidung zwischen relevanten und blo"s popul"aren. Jetzt auch (iii)\\
+ Nun: Unterscheidung zwischen relevanten und blo"s popul"aren. Jetzt auch (iii).
Schon auf $S_\sigma$ ist die Sortierung nach dem Eingangsgrad recht gut, im Gegensatz zum Gesamtgraphen.
\end{multicols}
-\underline{Autorit"at berechnen}
+\emph{Autorit"at berechnen}
Seiten mit gro\ss er Autorit"at zur Anfrage $\sigma$ sollten nicht nur gro\ss en Eingangsgrad haben;
-diejenigen, die auf sie zeigen, sollten sich erheblich "uberlappen; \underline{Hubs} \\
+diejenigen, die auf sie zeigen, sollten sich erheblich "uberlappen; \emph{Hubs} \\
Hubs und Autorit"aten verst"arken sich gegenseitig. \\
-\underline{Jede} Seite $p$ hat ein Autorit"atsgewicht $x^{\langle p \rangle}$, je gr"o{\ss}er, umso besser geeignet als Autorit"at auf $\sigma$.
+\emph{Jede} Seite $p$ hat ein Autorit"atsgewicht $x^{\langle p \rangle}$, je gr"o{\ss}er, umso besser geeignet als Autorit"at auf $\sigma$.
Jede Seite $p$ hat ein Hubgewicht $y^{\langle p \rangle}$, je gr"o{\ss}er, umso wertvoller als Autorit"at f"ur Autorit"aten bez"uglich $\sigma$ ist $p$.
\begin{tabular}{ll}
-Je gr"o\ss er der & $x$-Wert, um so besser zu $\sigma$ passt die Seite. \\
- & $y$-Wert, ein um so besserer Hub liegt vor.
+Je gr"o\ss er der & $x$-Wert, umso besser passt die Seite zu $\sigma$. \\
+ & $y$-Wert, ein um so besserer Hub liegt vor.
\end{tabular}
\allowdisplaybreaks
@@ -148,7 +149,6 @@ Nun gilt: $\sum\limits_{p \in S_\sigma} (x^{\langle p \rangle})^2 = 1$ und $\sum
\STATE $x^{\langle p \rangle} := \sum\limits_{q:\, (p \to q)} y^{\langle p \rangle}$
\STATE $y^{\langle p \rangle} := \sum\limits_{q:\, (p \to q)} x^{\langle p \rangle}$
\STATE normiere x und y auf 1
- \STATE gib die Seite(n) auf mit h"ochster Autorit"at in $x$
\ENDFOR
\end{algorithmic}
\end{ttfamily}
@@ -170,28 +170,29 @@ Da $AA^T$ und $A^TA$ symmetrisch: alle Eigenwerte reell. Wegen der Normierung ko
von $A^TA$ und $y \text{ gegen den von } AA^T$, d.h. dem Eigenvektor, der zum gr"o{\ss}ten Eigenwert geh"ort und L"ange 1 hat. \hfill$\square$\\
Experimente zeigen: $k \approx 20$ bis $30$ reicht aus (Expander: relativ gro\ss e Teilmenge von Knoten hat viele Nachbarn au\ss erhalb der Knotenmenge).
-$S_\sigma$ ist Teil des WWW, und der WWW-Graph \underline{ist} ein Expander.
+$S_\sigma$ ist Teil des WWW, und der WWW-Graph \emph{ist} ein Expander.
\noindent
-\underline{Literatur}: Jon M. Kleinberg: Authoritative Sources in a Hyperlinked Environment, J.ACM 1999 % TODO: wohin das?
+\emph{Literatur}: Jon M. Kleinberg: Authoritative Sources in a Hyperlinked Environment, J.ACM 1999 % TODO: wohin das?
\subsubsection{PageRank}
-Eine Alternative zum Hits-Algorithmus ist der PageRank-Algorithmus. \\
-%
-\begin{ttfamily}
-Initialisiere die Relevanz der Seiten auf $\frac 1{\text{Anzahl Seiten}}$ \\
-W"ahle $d$, zB $d = \frac 45$ \\
-while kein Terminierungskriterium erf"ullt do
- \begin{addmargin}{0.5cm}
- for all Seiten S do
- \begin{addmargin}{0.5cm}
- Neue Relevanz von S ist $\frac{1-d}{\text{Anzahl Seiten}} + d \cdot \sum\limits_{\forall R: (R,S) \in E} \frac{\text{Relevanz von R}}{\text{Ausgangsgrad von R}}$
- \end{addmargin}
- end for
- \end{addmargin}
-end while
-\end{ttfamily}
+Eine Alternative zum Hits-Algorithmus ist der PageRank-Algorithmus.
+
+\begin{algorithm}[H]
+ \caption{\texttt{PageRank}}
+ \begin{ttfamily}
+ \begin{algorithmic}[1]
+ \STATE Initialisiere die Relevanz der Seiten auf $\frac 1{\text{Anzahl Seiten}}$
+ \STATE W"ahle $d$, zB $d = 4/5$
+ \WHILE{Terminierungskriterium nicht erf"ullt}
+ \FORALL{Seiten S}
+ \STATE Neue Relevanz von S ist $(1-d) \cdot \frac{1}{\text{Anzahl Seiten}} + d \cdot \sum\limits_{\forall R: (R,S) \in E} \frac{\text{Relevanz von R}}{\text{Ausgangsgrad von R}}$
+ \ENDFOR
+ \ENDWHILE
+ \end{algorithmic}
+ \end{ttfamily}
+\end{algorithm}
\subsubsection{Zentralit"atsma\ss e}
@@ -200,18 +201,18 @@ end while
\[C_D(e) = \frac{\text{deg}(e)}{n-1}\]
Wobei deg$(e)$ den Grad des Knotens beschreibt (Anzahl der Nachbarn). \\
-\underline{Bedeutung}: Je mehr Nachbarn ein Knoten $e$ hat, desto wichtiger ist $e$.
+\emph{Bedeutung}: Je mehr Nachbarn ein Knoten $e$ hat, desto wichtiger ist $e$.
\paragraph{Betweeness Centrality}
\[C_B(e) = \frac{2}{(n-1)(n-2)} \cdot \sum\limits_{s\neq e\neq t, t\neq s} \frac{\sigma_{st}(e)}{\sigma_{st}}\]
$\sigma_{st}$ beschreibt die Anzahl der k"urzesten Wege von $s$ nach $t$, $\sigma_{st}(e)$ beschreibt die Anzahl derer, die dabei "uber $e$ verlaufen. \\
-\underline{Bedeutung}: Je mehr Bekanntschaften 'direkt' "uber einen Knoten $e$ verlaufen, desto wichtiger ist $e$.
+\emph{Bedeutung}: Je mehr Bekanntschaften 'direkt' "uber einen Knoten $e$ verlaufen, desto wichtiger ist $e$.
\paragraph{Closeness Centrality}
\[C_C(e) = \frac{\sum\limits_{t\neq e}\text{dist}(e,t)}{n-1}\]
dist$(e,t)$ bezeichnet hier die L"ange des k"urzesten Pfades zwischen $e$ und $t$. \\
-\underline{Bedeutung}: Je 'direkter' viele Leute einen Knoten $e$ kennen, desto wichtiger ist $e$.
+\emph{Bedeutung}: Je 'direkter' viele Leute einen Knoten $e$ kennen, desto wichtiger ist $e$.
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+++ b/lecture_notes.tex
@@ -49,5 +49,6 @@
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