\item erlaube \underline{aus} einer Domain nur $m$ (ca. $4$ bis $8$) Links \underline{auf} eine Seite
(wegen: \glqq diese Seite wurde erstellt von...\grqq)
\end{itemize}
\begin{multicols}{2}
\input{imgs/2_2_hits_result.tex}
\vfill
\columnbreak
Nun: Unterscheidung zwischen relevanten und blo"s popul"aren. Jetzt auch (iii)\\
Schon auf $S_\sigma$ ist die Sortierung nach dem Eingangsgrad recht gut, im Gegensatz zum Gesamtgraphen.
\end{multicols}
\underline{Autorit"at berechnen}
% merge ?
Seiten mit gro\ss er Autorit"at zur Anfrage $\sigma$ sollten nicht nur gro\ss en Eingangsgrad haben;
diejenigen, die auf sie zeigen, sollten sich erheblich "uberlappen; \underline{Hubs}\\
Hubs und Autorit"aten verst"arken sich gegenseitig. \\
\underline{Jede} Seite $p$ hat eine Autorit"at$x^{<p>}$ und ein Hubgewicht $y^{<p>}$ (Zahlen! \smiley)
so dass $\sum\limits_{p \in S_\sigma}(x^{<p>})^2=1$ und $\sum\limits_{p \in S_\sigma}(y^{<p>})^2=1$
\underline{Jede} Seite $p$ hat ein Autorit"atsgewicht $x^{\langle p \rangle}$, je gr"o{\ss}er, umso besser geeignet als Autorit"at auf $\sigma$.
Jede Seite $p$ hat ein Hubgewicht $y^{\langle p \rangle}$, je gr"o{\ss}er, umso wertvoller als Autorit"at f"ur Autorit"aten bez"uglich $\sigma$ ist $p$.
\begin{tabular}{ll}
Je gr"o\ss er der &$x$-Wert, um so besser zu $\sigma$ passend die Seite. \\
Je gr"o\ss er der &$x$-Wert, um so besser zu $\sigma$ passt die Seite. \\
&$y$-Wert, ein um so besserer Hub liegt vor.
\end{tabular}
\allowdisplaybreaks
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
$x^{<p>} :=\sum\limits_{q: (q \to p)} y^{<q>}$\footnote{je mehr gute Hubs auf eine Seite zeigen, desto besser}\\
\input{imgs/2_2_auth_Gewicht.tex}
\input{imgs/2_2_auth_Gewicht.tex}\\
$x^{\langle p \rangle} :=\sum\limits_{q: (q \to p)} y^{\langle q \rangle}$\footnote{je mehr gute Hubs auf eine Seite zeigen, desto besser}
\end{center}
\vfill
\columnbreak
\begin{center}
$y^{<p>} :=\sum\limits_{q: (p \to q)} x^{<q>}$\footnote{auf je mehr Seiten mit hoher Autorit"at ein Hub zeigt, desto besser}\\
\input{imgs/2_2_hub_Gewicht.tex}
\input{imgs/2_2_hub_Gewicht.tex}\\
$y^{\langle p \rangle} :=\sum\limits_{q: (p \to q)} x^{\langle q \rangle}$\footnote{auf je mehr Seiten mit hoher Autorit"at ein Hub zeigt, desto besser}
\end{center}
\end{multicols}
auf L"ange 1 normiert.
Zus"atzlich: normiere die Vektoren ($x^{\langle p_1\rangle}, \ldots, x^{\langle p_?\rangle}$) und
($y^{\langle p_1\rangle}, \ldots, y^{\langle p_?\rangle}$) auf L"ange 1.
Nun gilt: $\sum\limits_{p \in S_\sigma}(x^{\langle p \rangle})^2=1$ und $\sum\limits_{p \in S_\sigma}(y^{\langle p \rangle})^2=1$
\begin{lstlisting}
\noindent
\textbf{Eingabe:}$k$: Anzahl der Iterationen , $S_{\sigma}$\\
\textbf{Ausgabe:} Die Autorit"atsgewiche $x$ der Seiten von $S_{\sigma}$
\begin{lstlisting}[mathescape]
Iterate(k)
n := $|S_\sigma|$; x := $\vec1\in\Rel^n$; y := $\vec1\in\Rel^n$
wiederhole k mal
$x^{<p>} :=$
$y^{<p>} :=$
normiere
$x^{\langle p \rangle} :=\sum\limits_{q: (p \to q)} x^{\langle p \rangle}$
$y^{\langle p \rangle} :=\sum\limits_{q: (p \to q)} y^{\langle p \rangle}$
normiere x und y auf 1
gib die Seite(n) auf mit hoechster Autoritaet in $x$
\end{lstlisting}
...
...
@@ -144,19 +146,18 @@ Wenn A die Adjazenzmatrix\footnote{f"ur die Analyse, praktisch wird obiger Algor
\vec y &:= A \cdot\vec x
\end{align*}
\underline{Satz}: F"ur $k \to\infty$ konvergieren die Vektoren $x$ und $y$ bei Anwendung von Iterate(k).\\% TODO image 4
\underline{Beweis}:
\paragraph{Satz:}F"ur $k \to\infty$ konvergieren die Vektoren $x$ und $y$ bei Anwendung von Iterate(k).
Da $AA^T$ und $A^TA$ symmetrisch: Konvergenz $\square$. \\\\
%
$x$ konvergiert gegen den prinzipiellen Eigenvektor von $A^TA$\\
Da $AA^T$ und $A^TA$ symmetrisch: alle Eigenwerte reell. Wegen der Normierung konvergiert $x$ gegen den prinzipiellen Eigenvektor
von $A^TA$, d.h. der Eigenvektor, der zum gr"o{\ss}ten Eigenwert geh"ort und L"ange 1 hat. \hfill$\square$\\
$y$ konvergiert gegen den prinzipiellen Eigenvektor von $AA^T$\\
Der \underline{prinzipielle Eigenvektor}: Eigenvektor, der zum betragsm"a\ss ig gr"o\ss ten Eigenwert geh"ort. \\
Experimente zeigen: $k \approx20$ bis $30$ reicht aus. (Expander: relativ gro\ss e Teilmenge von Knoten hat viele Nachbarn au\ss erhalb der Knotenmenge)
$S_\sigma$ ist Teil des WWW, und der WWW-Graph \underline{ist} ein Expander.
\underline{Literatur}: Jon M. Kleinberg: Authoritative Sources in a Hyperlinked Environment, J.ACM 1999 % TODO: wohin das?
